Começaremos essa história com outra: a dos logaritmos. Quem da velha-guarda não se lembra das famosas tabelas de logaritmos? E das famigeradas réguas de cálculo? Coisas jurássicas para a geração atual!
Logaritmo: palavra de origem grega formada de lógos (razão, evolução, discurso) e arithmós (número). Logarithmo significa, literalmente, a evolução de um número. O símbolo log, contração de logarithm, é devido ao astrônomo Kepler.
Os logaritmos foram inventados por John Napier (1550-1617). Seu objetivo era obter uma forma menos trabalhosa de fazer cálculos. E, na época, uma multiplicação entre números grandes, por exemplo, era um verdadeiro sacrifício. Coisa de sábios.
Qual foi a idéia de Napier... ou Neper?
Neper foi um nome pelo qual ele também ficou conhecido, e como nos foi ensinado (logaritmos neperianos) – o que me fez lembrar de um amigo dos tempos de faculdade, um nordestino arretado, que sempre pronunciava “néparianos” e cujo apelido acabou ficando Népa. O mais interessante é que no ano seguinte a essa consagração surgiu outro nordestino com a mesma dificuldade. Não deu outra: Népa 2.
John Napier
Voltemos ao Neper original, que, mesmo sendo um rico escocês, fazia coisas mais interessantes do que se encharcar com whisky, e que era também uma pessoa muito ardilosa.
Conta-se que, desconfiado de que estava sendo roubado por um de seus empregados, ordenou-lhes que passassem a mão sobre um galo preto num quarto escuro, dizendo que o animal, posteriormente, identificaria o ladrão. Acontece que Neper, astuto matemático, havia passado fuligem no galo e, ao saírem os empregados do recinto, pediu-lhes que mostrassem as mãos, identificando o culpado – o único que estava com as mãos limpas...
Vamos tentar tornar palatável aos não-matemáticos outra idéia “ardilosa” de Neper para inventar os logaritmos, com um exemplo bem simples.
A idéia básica era obter o resultado de uma multiplicação através de uma operação mais fácil – a soma.
Sabemos que para calcular o produto de potências de mesma base somamos os expoentes, como no exemplo:
22 x 23 = 25
Vejamos, então, o procedimento básico através da tabela abaixo:
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
Na linha superior temos os expoentes e na inferior o resultado de 2 elevado ao respectivo expoente.
Então, para multiplicar 16 x 64, por exemplo, somamos os respectivos expoentes 4 e 6, obtendo 10. Verificamos em seguida qual o número correspondente ao 10, e chegamos ao resultado 1024.
A linha de cima é a dos logaritmos na base 2 e a de baixo, a dos respectivos antilogaritmos.
Fácil? Sim, mas as coisas não foram assim tão simples. Nunca são.
Neper usou como base 0,9999999 (uma coisa muito esquisita para os não-matemáticos e até para os sim-matemáticos). Os detalhes dessa escolha ficam para os mais interessados pesquisarem. Aqui espantaria boa parte de leitores.
O fato é que, com essa base, Neper construiu suas tábuas de logaritmos e publicou um tratado: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos).
Posteriormente, outro matemático, Henry Briggs (1561-1631), foi visitar Neper e sugeriu o uso da base 10. Pronto: ficou criado o logaritmo decimal, cujas tabelas (“dos Irmãos Maristas”) todos colegiais de antigamente tinham, com a notação log N significando logaritmo de N na base 10.
E, na seqüência, depois do logaritmo decimal, ensinavam-se logaritmos noutras bases, em especial o famoso ln N, significando logaritmo natural ou logaritmo na base e, ou, ainda, logaritmo neperiano (népariano, segundo os amigos nordestinos).
Com base nos conceitos de Neper, foram criadas as famosas réguas de cálculo, utilizadas até mais ou menos meados da década de 70. Hoje são peças de museu.
Régua de cálculo “Aristo”
E aqui começa a nossa breve história do intrigante número e.
Para apresentar o e, vamos supor uma situação bastante hipotética.
Imagine que um banco pague juros de 100% ao ano. Eu não falei que era uma situação hipotética? Mesmo assim, vamos fazer de conta que existe um banco com essa maravilhosa generosidade.
Após um ano, teríamos o montante de R$ 2,00 para cada R$ 1,00 aplicado.
E se, com uma generosidade inexplicável, os juros fossem creditados semestralmente, ao final de um ano teríamos R$ 2,25. Um sonho!
A expressão para esse cálculo é a seguinte:
(1 + 1/n)n = (1 + 1/2)2 = 2,25
Para o crédito ser trimestral, temos n = 4 e o resultado é 2,44141.
Vejamos alguns resultados para diversos valores de n na tabela abaixo.
n
(1 + 1/n)n
1
2
2
2,25
3
2,37037
4
2,44141
5
2,48832
10
2,59374
50
2,69159
100
2,70481
1.000
2,71692
10.000
2,71815
100.000
2,71827
1.000.000
2,71828
10.000.000
2,71828
A “loucura total” seria calcular quanto seria o resultado para o crédito instantâneo, ou seja, com n tendendo ao infinito.
Esse limite é um número irracional e transcendental chamado número e (número de Euler).
Um número é irracional quando não pode ser colocado na forma a/b com a e b inteiros. É transcendental quando não pode ser resultado de uma equação polinomial com coeficientes inteiros do tipo: axn + bxn-1 + ... + z = 0
Em termos matemáticos:
e = 2,71828182845904523536028747135266... E nunca termina.
Quem efetivamente calculou o número e foi Leonhard Euler, e dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deva à inicial de “exponencial”.
Esse número é a base dos logaritmos neperianos.
E se aquele banco generoso quisesse creditar juros instantâneos à sua aplicação de R$1,00, a 100% ao ano, você teria ao final de um ano o valor de:
R$ 2,71828182845904523536028747135266...
Ou, o que é mais provável, R$ 2,71, deixando aquela montanha de decimais ao banco. Afinal, esse banco merece!
Vamos, pois, ficar atentos à publicidade. Quem sabe não aparece um banco assim?
e=2,71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759451382178525166427...
Existem, entre outros, dois especialmente intrigantes: p e i.
p = 3,14159... Também transcendental.
i = Ö-1 porque i foi o símbolo adotado por Euler para a raiz quadrada de -1.
E olha só o que o Euler também conseguiu – uma correlação entre eles:
eiπ + 1= 0
Mas isso já é coisa para os efetivamente matemáticos...
quarta-feira, 23 de dezembro de 2009
O que é o número p (pi) ?
O número pi (representado habitualmente pela letra grega p ) é o irracional mais famoso da história, com o qual se representa a razão constante entre o perímetro de qualquer circunferência e o seu diâmetro .
Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10920 Km e se dividirmos este valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 Km iremos verificar que esta razão é de 3,14154200…, este número é-nos familiar, é aproximadamente 3,14.
Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possivel determinar com centenas de milhões de casa decimais.
Aqui aparecem as primeiras cinquenta :
p = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751
A história do p
Antes de Cristo
A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era conhecida por muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilónios como os Egípcios sabiam que esta razão era maior que 3. Nas placas de argila dos Babilónios verifica-se que estes adoptavam uma aproximação grosseira para o valor de p, pois consideravam que a razão do círculo era dada por 3 ou
Por seu lado os Egípcios deram um valor diferente, mais exacto, obtido através da comparação da área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Nos papiros Egípcios escritos antes de 1700 a. C., a área de um círculo é igual à de um quadrado com 8/9 de diâmetro. Mas por exemplo o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a. C.) dá à relação existente entre a circunferência e o seu diâmetro, o valor 3,16, na nossa notação; o papiro de Moscou contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que é atribuido a p o valor de 3,14. Isto evidência que a medição Egípcia da circunferência tinha erro menor do que um por cento.
Se tomarmos o diâmetro como 2, a área é p e a regra Egípcia é dada por:
O velho testamento descreve uma bacia circular ou a "fusão do mar" feita por Hiram de Tiro. A bacia é descrita como sendo um "lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trinta em redor" o que fazia p igual a 3. Contudo, neste ponto da história já se sabia que o p era maior do que 3, e não há razão para acreditar que o texto bíblico tinha a intenção de ser algo mais do que uma descrição casual.
Tanto Hebreus como Babilónios se satisfizeram ao atribuir a p o valor de 3. Na época em que , em Tennesse, se realizava o célebre julgamento da ideia evolucionista , um dos estados agricolas da União Americana introduziu na legislação uma lei especial, destinada a restaurar o valor bíblico de p . Lei que acabou por não ser aceite, pois teria "como conseqência lógica, a extinção dos tractores e dos automóveis Ford."
Embora muitas civilizações antigas tenham observado através de medições que a razão do circulo é a mesma para circulos de diferentes tamanhos, os Gregos foram os primeiros que explicaram porquê. É uma simples propriedade das figuras semelhantes. Os antigos Gregos foram provavelmente os primeiros a compreender que p e Ö2, são números muito diferente dos números inteiros ou dos números racionais (razão de inteiros) que eles usavam nas suas matemáticas. Contudo, embora os Gregos tenham conseguido provar que Ö2 é irracional, o mesmo não aconteceu com o p .
Arquimedes (287/212 a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximação dada ao número p . Aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de p se encontra encontra limitado pelos seguintes valores:
ou seja, 3,14085 < p < 3,142857, obtendo uma aproximação com duas casas decimais correctas.
Depois de Cristo
No ano 400 d.C. o livro indiano "Paulisha Siddhânta" usa o valor 3177/1250 para p, anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de p se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927:
3,1415926 < p < 3,1415927.
Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e astronomia intitulado " ãryabhata", dados para a obtenção de p : "Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado é aproximadamente o comprimento da circunferência de diâmetro 20.000." Donde sai o valor aproximado 3,1416 para p, que é uma boa aproximação com 3 casas decimais correctas.
Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximações para p usando polígonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante cálculo Chinês com um polígono com mais de 3.000 lados deu cinco décimas ao p. Os Chineses também encontraram uma fracção simples 355/113 o que difere do p por menos de 0.0000003. A aproximação racional 355/113 foi redescoberta no século XVI pelo engenheiro alemão Adriaan Anthoniszoon. No mesmo século, outro alemão, Adriaen van Rooman, usou o método de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para p . Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemática e ciências militares na Universidade de Leyden, obteve o valor de p com 20 casas decimais, depois com 32 e mais tarde, em 1615, estendeu este resultado a 35 casas decimais. Os Alemães ficaram tão estupefactos com este cálculo que durante anos chamaram ao p o número Ludolfino. Consta que essa sua aproximação de p teria sido gravada na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda é o facto de, ainda hoje na Alemanha, p ser frequentemente designado como número ludolfino.
Viéte em 1593, obteve, pelo Método de Arquimedes, através do limite da sucessão de polígonos inscritos no círculo, o valor 3,1415926535. De sua autoria, temos a seguinte forma a partir da qual p pode ser definido:
Embora seja conhecido que p não é um número racional (isto é p não é a razão de inteiros), há muitas fórmulas surpreendentes que relacionam p com os inteiros.
Em 1656, John Wallis (1616/1703), professor de Geometria da Universidade de Oxford, provou que p/2 é igual ao produto infinito de números racionais. O numerador destas fracções contém inteiros pares cada um repetindo-se duas vezes, e o denominador contém inteiros ímpares, cada um repetindo-se duas vezes (com excepção do 1). O resultado obtido por Wallis pode escrever-se da seguinte forma:
Wallis provou que o valor do limite dos produtos tende para p/2 , tal que:
Esta é a primeira fórmula para expressar p como o limite de sequência de números racionais.
Uma fórmula mais simples, descoberta por James Gregory (1646/1716) em 1671, expressa p/4 como uma série infinita. Ele provou que o limite desta série é p/4 :
O mesmo resultado foi descoberto independentemente, por Leibniz (1646/1716) em 1674, e a série é normalmente chamada de série Gregory-Leibniz. Ele propõe o cálculo de p pelos limites de séries.
Isaac Newton, por volta do ano 1666, através da série:
obtém o valor de p com 16 casas decimais.
Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, o uso da letra grega p como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones (1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo p para esta razão. O símbolo apareceu no seu livro Synopsis Palmariarum Malheseos, publicado em 1706, o qual incluía 100 casas decimais para p calculado por John Machin (1680/1752). A fórmula da autoria de Machin é dada por:
Em 1720, o japonês Matsunage achou o valor de p com 50 casas decimais.
A letra c (para circunferência) e p (para perímetro) foram muitas vezes usadas para a razão do círculo, mas a letra grega p tornou-se bastante aceite depois de Leonhard Euler usá-la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinitorum, publicado em 1748. Acredita-se que a letra p foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para perímetro e periferia.
Em 1736 Leonhard Euler mostrou que o somatório da série :
Ele também mostrou que esta série pode ser expressa como um produto infinito envolvendo todos os números primos, 2, 3, 5, 7, 11(…). Especialmente ele mostrou que:
As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para p , procurando encontrar padrões que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemático Alemão, Johann Lambert usou uma fracção continua para a tangente trignométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que p é irracional, isto é , p não é razão de dois inteiros. Também, A. M. Legendre, em 1794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega que em 1796 dá uma aproximação de p com 140 casas decimais. E em 1844, um Vienense, dá uma aproximação com 205 casas decimais.
Gauss (1777-1855) é autor de três formulas a partir das quais p pode ser definido:
Um novo record para calcular p foi alcançado em 1874 por Willian Shanks, com 707 casas decimais. Infelizmente, houve um erro a partir da 528ª casa, que só foi descoberto em 1945 quando D. F. Ferguson completou o cálculo com mais de 530 casas decimais.
A raíz quadrada de dois, tal como p , é também irracional mas há uma diferença significante entre os dois, que tem a ver com a geometria. Um segmento de linha de comprimento Ö2 pode ser construído a partir do segmento de comprimento um, pelo método de Euclides, isto é, usando só régua e compasso. Mas um segmento de comprimento p não pode ser construído desta maneira. Sabe-se que muitos números podem ser construídos pelo método de Euclides, eles são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. O número Ö2 é um exemplo porque é raíz de uma equação: X2-2=0.
Números reais como Ö2, são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, e são chamados números algébricos. Números como p que não são algébricos são chamados de números transcendentes. Em 1882 um matemático alemão, F. Lindemann provou que quer p quer Öp são transcendentes, pois não são raízes de nenhum polinómio com coeficientes racionais.
Século XX
Foi a partir do século XX, mais concretamente a partir de 1949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um número cada vez maior de casas decimais para p. Um algoritmo, da autoria de Brent e Salamin (1975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1983, obtendo-se assim 16 milhões de algarismos. Estas contas foram posteriormente verificadas por meio da relação de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam correctas. Gosper, utilizando um algoritmo, calculou, em 1985, 17 milhões de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1986, atingiu o record de 29 milhões com a ajuda de um Cray-2. Em Setembro de 1986, Kanada obteve 33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1987, consegue calcular 227 algarismos e por último em Janeiro de 1988 chega a 201.326.551 algarismos. Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University, calcularam mais de um bilião de casas decimais para p, este valor foi ultrapassado em 1995, por investigadores japoneses que obtiram três biliões de casas decimais para p. Em Setembro de 1995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exactas deste número. Este record acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1997 obtem 51.539.600.000 casas decimais exactas!…
Em Outubro de 1996, o francês Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de p mas em numeração binária, atingindo sucessivamente as fasquias de 400 biliões, mas em Setembro de 1997 ele consegue atingir 1.000 bilião de casas decimais para p, ao fim de 25 dias de cálculo intensivo em computadores ligados em rede através da Internet, tendo sido usada uma fórmula desenvolvida em 1995 por matemáticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfeiçoada por Bellard.
Se pensarmos que ao dar a volta à Lua seguindo um dos seus círculos máximos, percorremos aproximadamente 10920 Km e se dividirmos este valor pelo diâmetro da Lua que é 3476 Km iremos verificar que esta razão é de 3,14154200…, este número é-nos familiar, é aproximadamente 3,14.
Na realidade, como número irracional, pi é expresso por uma dizima infinita não periódica, que nos dias de hoje com a ajuda dos computadores já é possivel determinar com centenas de milhões de casa decimais.
Aqui aparecem as primeiras cinquenta :
p = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 3751
A história do p
Antes de Cristo
A existência de uma relação constante entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro era conhecida por muitas das civilizações antigas. Tanto os Babilónios como os Egípcios sabiam que esta razão era maior que 3. Nas placas de argila dos Babilónios verifica-se que estes adoptavam uma aproximação grosseira para o valor de p, pois consideravam que a razão do círculo era dada por 3 ou
Por seu lado os Egípcios deram um valor diferente, mais exacto, obtido através da comparação da área de um disco circular com o quadrado do seu diâmetro. Nos papiros Egípcios escritos antes de 1700 a. C., a área de um círculo é igual à de um quadrado com 8/9 de diâmetro. Mas por exemplo o papiro de Ahmes, (cerca de 1600 a. C.) dá à relação existente entre a circunferência e o seu diâmetro, o valor 3,16, na nossa notação; o papiro de Moscou contém uma fórmula para se calcular a área da esfera, em que é atribuido a p o valor de 3,14. Isto evidência que a medição Egípcia da circunferência tinha erro menor do que um por cento.
Se tomarmos o diâmetro como 2, a área é p e a regra Egípcia é dada por:
O velho testamento descreve uma bacia circular ou a "fusão do mar" feita por Hiram de Tiro. A bacia é descrita como sendo um "lago de dez cúbitos, de margem a margem, circular, cinco cúbitos de fundo, e trinta em redor" o que fazia p igual a 3. Contudo, neste ponto da história já se sabia que o p era maior do que 3, e não há razão para acreditar que o texto bíblico tinha a intenção de ser algo mais do que uma descrição casual.
Tanto Hebreus como Babilónios se satisfizeram ao atribuir a p o valor de 3. Na época em que , em Tennesse, se realizava o célebre julgamento da ideia evolucionista , um dos estados agricolas da União Americana introduziu na legislação uma lei especial, destinada a restaurar o valor bíblico de p . Lei que acabou por não ser aceite, pois teria "como conseqência lógica, a extinção dos tractores e dos automóveis Ford."
Embora muitas civilizações antigas tenham observado através de medições que a razão do circulo é a mesma para circulos de diferentes tamanhos, os Gregos foram os primeiros que explicaram porquê. É uma simples propriedade das figuras semelhantes. Os antigos Gregos foram provavelmente os primeiros a compreender que p e Ö2, são números muito diferente dos números inteiros ou dos números racionais (razão de inteiros) que eles usavam nas suas matemáticas. Contudo, embora os Gregos tenham conseguido provar que Ö2 é irracional, o mesmo não aconteceu com o p .
Arquimedes (287/212 a.C.) conseguiu melhorar um pouco a aproximação dada ao número p . Aproximando a circunferência por polígonos regulares de 12, 24, 48 e 96 lados, descobre que o valor de p se encontra encontra limitado pelos seguintes valores:
ou seja, 3,14085 < p < 3,142857, obtendo uma aproximação com duas casas decimais correctas.
Depois de Cristo
No ano 400 d.C. o livro indiano "Paulisha Siddhânta" usa o valor 3177/1250 para p, anos mais tarde, Tsu Chung-Chi (430/501 d.C.) descobre que o valor de p se encontra entre 3,1415926 e 3,1415927:
3,1415926 < p < 3,1415927.
Por volta de 499 d.C., aparece, num tratado indiano sobre matemática e astronomia intitulado " ãryabhata", dados para a obtenção de p : "Adicione-se 4 a 100, multiplique-se o resultado por 8 e adicione-se 62.000. O resultado é aproximadamente o comprimento da circunferência de diâmetro 20.000." Donde sai o valor aproximado 3,1416 para p, que é uma boa aproximação com 3 casas decimais correctas.
Mais tarde os investigadores obtiveram melhores aproximações para p usando polígonos com mais lados do que aqueles que foram usados por Arquimedes. Um impressionante cálculo Chinês com um polígono com mais de 3.000 lados deu cinco décimas ao p. Os Chineses também encontraram uma fracção simples 355/113 o que difere do p por menos de 0.0000003. A aproximação racional 355/113 foi redescoberta no século XVI pelo engenheiro alemão Adriaan Anthoniszoon. No mesmo século, outro alemão, Adriaen van Rooman, usou o método de Arquimedes com 230 lados para obter 15 casas decimais para p . Alguns anos mais tarde Ludolph Van Ceulen (1539/1610), professor de matemática e ciências militares na Universidade de Leyden, obteve o valor de p com 20 casas decimais, depois com 32 e mais tarde, em 1615, estendeu este resultado a 35 casas decimais. Os Alemães ficaram tão estupefactos com este cálculo que durante anos chamaram ao p o número Ludolfino. Consta que essa sua aproximação de p teria sido gravada na pedra tumular do autor, pedra essa que se perdeu. Mais interessante ainda é o facto de, ainda hoje na Alemanha, p ser frequentemente designado como número ludolfino.
Viéte em 1593, obteve, pelo Método de Arquimedes, através do limite da sucessão de polígonos inscritos no círculo, o valor 3,1415926535. De sua autoria, temos a seguinte forma a partir da qual p pode ser definido:
Embora seja conhecido que p não é um número racional (isto é p não é a razão de inteiros), há muitas fórmulas surpreendentes que relacionam p com os inteiros.
Em 1656, John Wallis (1616/1703), professor de Geometria da Universidade de Oxford, provou que p/2 é igual ao produto infinito de números racionais. O numerador destas fracções contém inteiros pares cada um repetindo-se duas vezes, e o denominador contém inteiros ímpares, cada um repetindo-se duas vezes (com excepção do 1). O resultado obtido por Wallis pode escrever-se da seguinte forma:
Wallis provou que o valor do limite dos produtos tende para p/2 , tal que:
Esta é a primeira fórmula para expressar p como o limite de sequência de números racionais.
Uma fórmula mais simples, descoberta por James Gregory (1646/1716) em 1671, expressa p/4 como uma série infinita. Ele provou que o limite desta série é p/4 :
O mesmo resultado foi descoberto independentemente, por Leibniz (1646/1716) em 1674, e a série é normalmente chamada de série Gregory-Leibniz. Ele propõe o cálculo de p pelos limites de séries.
Isaac Newton, por volta do ano 1666, através da série:
obtém o valor de p com 16 casas decimais.
Embora as pessoas se tenham interessado durante séculos pela razão do círculo, o uso da letra grega p como um símbolo que designa esta razão é relativamente recente. O inglês William Jones (1675/1749) é geralmente reconhecido como o primeiro a usar o símbolo p para esta razão. O símbolo apareceu no seu livro Synopsis Palmariarum Malheseos, publicado em 1706, o qual incluía 100 casas decimais para p calculado por John Machin (1680/1752). A fórmula da autoria de Machin é dada por:
Em 1720, o japonês Matsunage achou o valor de p com 50 casas decimais.
A letra c (para circunferência) e p (para perímetro) foram muitas vezes usadas para a razão do círculo, mas a letra grega p tornou-se bastante aceite depois de Leonhard Euler usá-la no seu famoso livro Introductio in Analysin Infinitorum, publicado em 1748. Acredita-se que a letra p foi escolhida por ser a primeira letra das palavras gregas para perímetro e periferia.
Em 1736 Leonhard Euler mostrou que o somatório da série :
Ele também mostrou que esta série pode ser expressa como um produto infinito envolvendo todos os números primos, 2, 3, 5, 7, 11(…). Especialmente ele mostrou que:
As pessoas calculavam mais e mais casas decimais para p , procurando encontrar padrões que se repetissem, mas nenhum foi encontrado. Em 1761 um matemático Alemão, Johann Lambert usou uma fracção continua para a tangente trignométrica de um ângulo que mostra conclusivamente que p é irracional, isto é , p não é razão de dois inteiros. Também, A. M. Legendre, em 1794 vem provar o mesmo que Lambert. A estes dois, segue-se Vega que em 1796 dá uma aproximação de p com 140 casas decimais. E em 1844, um Vienense, dá uma aproximação com 205 casas decimais.
Gauss (1777-1855) é autor de três formulas a partir das quais p pode ser definido:
Um novo record para calcular p foi alcançado em 1874 por Willian Shanks, com 707 casas decimais. Infelizmente, houve um erro a partir da 528ª casa, que só foi descoberto em 1945 quando D. F. Ferguson completou o cálculo com mais de 530 casas decimais.
A raíz quadrada de dois, tal como p , é também irracional mas há uma diferença significante entre os dois, que tem a ver com a geometria. Um segmento de linha de comprimento Ö2 pode ser construído a partir do segmento de comprimento um, pelo método de Euclides, isto é, usando só régua e compasso. Mas um segmento de comprimento p não pode ser construído desta maneira. Sabe-se que muitos números podem ser construídos pelo método de Euclides, eles são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. O número Ö2 é um exemplo porque é raíz de uma equação: X2-2=0.
Números reais como Ö2, são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros, e são chamados números algébricos. Números como p que não são algébricos são chamados de números transcendentes. Em 1882 um matemático alemão, F. Lindemann provou que quer p quer Öp são transcendentes, pois não são raízes de nenhum polinómio com coeficientes racionais.
Século XX
Foi a partir do século XX, mais concretamente a partir de 1949, com o auxilio dos computadores e de algoritmos computacionais que se foi descobrindo um número cada vez maior de casas decimais para p. Um algoritmo, da autoria de Brent e Salamin (1975), foi utilizado pelos japoneses Y. Kanada, Y. Tamura, S. Yoshino, Y. Ushiro que o implementaram, em 1983, obtendo-se assim 16 milhões de algarismos. Estas contas foram posteriormente verificadas por meio da relação de Gauss, o que mostrou que as primeiras 10.013.395 casas estavam correctas. Gosper, utilizando um algoritmo, calculou, em 1985, 17 milhões de algarismos e, Bailey, em Janeiro de 1986, atingiu o record de 29 milhões com a ajuda de um Cray-2. Em Setembro de 1986, Kanada obteve 33.554.000 algarismos, depois em Janeiro de 1987, consegue calcular 227 algarismos e por último em Janeiro de 1988 chega a 201.326.551 algarismos. Anos mais tarde, Bailey e Gregory Chudnovsky, da Columbia University, calcularam mais de um bilião de casas decimais para p, este valor foi ultrapassado em 1995, por investigadores japoneses que obtiram três biliões de casas decimais para p. Em Setembro de 1995, Yasumana Kanada, depois de ter colocado o seu computador Hitachi a trabalhar durante mais de 250 horas, obteve 6.442.450.939 casas decimais exactas deste número. Este record acaba por ser ultrapassado quando em Junho de 1997 obtem 51.539.600.000 casas decimais exactas!…
Em Outubro de 1996, o francês Fabrice Bellard de 25 anos, calcula o valor de p mas em numeração binária, atingindo sucessivamente as fasquias de 400 biliões, mas em Setembro de 1997 ele consegue atingir 1.000 bilião de casas decimais para p, ao fim de 25 dias de cálculo intensivo em computadores ligados em rede através da Internet, tendo sido usada uma fórmula desenvolvida em 1995 por matemáticos da Universidade Simon Fraser, mas aperfeiçoada por Bellard.
sexta-feira, 25 de setembro de 2009
Professores e alunos em tempos diferentes
Pai da teoria das inteligências múltiplas defende que as escolas não acompanharam a revolução tecnológica Publicado em 16/09/2009 Tatiana Duarte
Imagine entrar em um túnel do tempo e retornar um século. Entrar em uma sala de aula, encontrar um professor que fala um idioma diferente do seu, mas que mesmo assim o tenta ensinar, sem fazer muito esforço para ser entendido.
Essa ilustração sobre a falta de sintonia entre o estudante e o professor, cada um preso ao seu tempo, exemplifica a escola do século 21, na opinião do psicólogo e professor de psicologia da Universidade de Harvard, Howard Gardner, que esteve em Curitiba, no mês passado, em palestra na Universidade Positivo.
ultima = 0;
Saiba mais
Conheça a teoria do pesquisador Howard Gardner
Na opinião de Gardner, as escolas não acompanharam as principais revoluções dos últimos tempos, como a globalização, as transformações do cérebro, da genética e da mídia digital. “Hoje, provavelmente as crianças usam mais redes sociais na internet do que leem livros. É uma característica que tem de ser levada em conta pelo professor”, diz.
Considerado um dos mais importantes pesquisadores da criatividade, Gardner é conhecido como o pai da teoria das inteligências múltiplas, criada há 25 anos, que defende que o cérebro tem até oito tipos diferentes de inteligências.
O pesquisador defende que as avaliações em sala de aula devem ser feitas de maneiras diferentes, que contemplem cada uma das inteligências existentes e cita um modelo aplicado na Dinamarca, em que 50 jogos conseguem desempenhar esse papel. Como esse outro jeito de avaliar necessita de grandes investimentos, Gardner diz que uma boa solução é ir adiante com o estudante que está indo bem nos estudos. “No mundo todo desperdiçamos tempo demais testando as crianças”, diz ele.
Quanto ao Brasil, o pesquisador diz não conhecer suficientemente o sistema educacional para emitir uma análise. “Se o Brasil quer se empenhar mais com a educação no século 21, tem de se voltar para si. Não adianta importar modelos, mas olhar para o espelho”, afirma.
fonte gazeta do povo
Imagine entrar em um túnel do tempo e retornar um século. Entrar em uma sala de aula, encontrar um professor que fala um idioma diferente do seu, mas que mesmo assim o tenta ensinar, sem fazer muito esforço para ser entendido.
Essa ilustração sobre a falta de sintonia entre o estudante e o professor, cada um preso ao seu tempo, exemplifica a escola do século 21, na opinião do psicólogo e professor de psicologia da Universidade de Harvard, Howard Gardner, que esteve em Curitiba, no mês passado, em palestra na Universidade Positivo.
ultima = 0;
Saiba mais
Conheça a teoria do pesquisador Howard Gardner
Na opinião de Gardner, as escolas não acompanharam as principais revoluções dos últimos tempos, como a globalização, as transformações do cérebro, da genética e da mídia digital. “Hoje, provavelmente as crianças usam mais redes sociais na internet do que leem livros. É uma característica que tem de ser levada em conta pelo professor”, diz.
Considerado um dos mais importantes pesquisadores da criatividade, Gardner é conhecido como o pai da teoria das inteligências múltiplas, criada há 25 anos, que defende que o cérebro tem até oito tipos diferentes de inteligências.
O pesquisador defende que as avaliações em sala de aula devem ser feitas de maneiras diferentes, que contemplem cada uma das inteligências existentes e cita um modelo aplicado na Dinamarca, em que 50 jogos conseguem desempenhar esse papel. Como esse outro jeito de avaliar necessita de grandes investimentos, Gardner diz que uma boa solução é ir adiante com o estudante que está indo bem nos estudos. “No mundo todo desperdiçamos tempo demais testando as crianças”, diz ele.
Quanto ao Brasil, o pesquisador diz não conhecer suficientemente o sistema educacional para emitir uma análise. “Se o Brasil quer se empenhar mais com a educação no século 21, tem de se voltar para si. Não adianta importar modelos, mas olhar para o espelho”, afirma.
fonte gazeta do povo
Professores criativos, alunos interessados
Com projetos simples, docentes estimulam estudantes, que aprendem melhor e passam a gostar mais da escola28/07/2009 03:01 Vinicius Boreki
Com criatividade, professores de escolas estaduais e municipais driblam a falta de recursos e encerram a monotonia em sala de aula, motivando seus alunos com iniciativas que fogem do padrão. Vale tudo para incentivar estudantes, desde instituir horário exclusivo à leitura – inclusive para funcionários –, organizar sarau para apresentar o mundo artístico ou desenvolver projetos interdisciplinares que tragam o conteúdo das disciplinas para a realidade. As inovações repercutem positivamente no aprendizado e, como consequência, no interesse pela escola e pela educação.
Há 14 anos, o professor de Biologia Nicolau Shigunov desenvolve, na Escola Estadual La Salle, no Pinheirinho, o projeto Túnel do Conhecimento. Uma vez por ano, o professor seleciona um tema, e os estudantes organizam uma apresentação para colegas e comunidade. “Este ano, nosso foco foi o meio ambiente”, conta. Os estudantes criaram a peça Corruptolândia – Sociedade do Lixo, encenando as consequências de uma sociedade que não conserva os recursos naturais. “Além de contextualizar o conteúdo, o teatro é uma maneira de trabalhar a interdisciplinariedade”, acrescenta.
ultima = 0;
Comunidade se envolve em ações
Projetos como o Túnel do Conhecimento ou Sarau Cultural movimentam a comunidade, muitas vezes alheia à escola. No caso da Escola Municipal Nimpha Maria da Rocha Peplow, o espaço permaneceu aberto aos moradores durante toda a semana de 1 a 6 de junho, de manhã à noite. “Como trouxemos artistas, houve interação com a comunidade, que participou das oficinas e visitou a escola”, diz Claudia Alessi, professora de Artes. “Há pessoas que moram próximo, mas nunca tinham entrado aqui. E a participação dos pais também incentiva as crianças”.
A apresentação da Corruptolândia – Sociedade do Lixo movimentou outras pessoas, além de estudantes e pais. A comunidade se mobiliza para assistir ao resultado do esforço e dedicação dos estudantes – que passam um fim de semana na montagem da estrutura. Professora da UFPR e doutora em Educação, Araci Asinelli da Luz afirma que a interação aguça o sentido de importância da escola. “Esses jovens, em geral de periferia, percebem que a escola é vida”, diz. O interesse pelo projeto de Nicolau Shigunov é tão grande que ex-estudantes pedem para participar da encenação. “Todo ano o pessoal fica na expectativa pelo projeto. Curioso para saber o tema e aguardando o agendamento da data”, afirma o professor de Biologia da Escola Estadual La Salle. (VB)
Participação
Funcionários aderem à leitura
Quarta-feira é o dia esperado na Escola Municipal Vila Zanon, no Tatuquara. Estudantes, professores e funcionários têm 20 minutos exclusivos para se dedicar à leitura. “Não precisa necessariamente ser livro, pode ser um texto, uma imagem, um jornal ou até uma gravura”, conta Rosana Faglioni Carrasco de Almeida, diretora da instituição. Se um pai procurar a escola nesse período, terá de que esperar. Ou aproveitar para colocar a leitura em dia. “A ideia é fazer com que todos se envolvam. Qualquer pessoa que chega percebe que é um momento importante”, afirma Rosana. E o temor de que a obrigatoriedade poderia afugentar os alunos da literatura se dissipou no momento em que os estudantes começaram a aproveitar o horário do recreio para ler. “Tornou-se algo maior”, diz Rosana. Com isso, “eles estão mais críticos. Conseguem comentar, argumentar, melhorando muito no raciocínio e produção de texto”, conta.
De acordo com Shigunov, o sistema de ensino está atrasado. Por isso, o uso de recursos audiovisuais é fundamental para atrair o interesse do aluno e facilitar o aprendizado. “Com os múltiplos recursos que existem, o aluno se desinteressa pela aula comum. No Túnel do Conhecimento, eles se envolvem, participam e aprendem”, diz. Doutora em Educação, a professora da Universidade Federal do Paraná (UFPR) Araci Asinelli da Luz explica que projetos como esse são essenciais para aproximar os estudantes da realidade. “Os currículos não têm significado para os alunos, afastando-os da escola. E isso desmotiva. Uma proposta dessa inclui o estudante como autor. Ele se sente bem”, diz.
Araci defende trabalhos diferenciados para transformar a concepção da escola para o estudante. “Isso coloca a instituição como ambiente rico para relações humanas”, diz. O bom relacionamento com o espaço favorece o cuidado com o local de estudo, seguindo a velha máxima de que “quem ama cuida”.
Semana cultural
A Escola Municipal Nimpha Maria da Rocha Peplow, no Vista Alegre, organizou, na primeira semana do mês, um sarau cultural. Nos cinco dias, profissionais de diversos ramos das artes – artistas plásticos, poetas, pintores, escritores e ilustradores – estiveram na escola expondo trabalhos, conversando com alunos e a comunidade, além de ministrar oficinas. “Desde o ano passado, promovemos iniciativas que envolvam a literatura e as artes”, conta a professora de Literatura, Ensino Religioso e responsável pela biblioteca da instituição, Lucia Felix Pedri. O pontapé inicial para o projeto deste ano ocorreu em função do centenário de nascimento de Sinibaldo Trombini, patrono da biblioteca da escola.
A professora de Artes Claudia Alessi afirma que as crianças se tornaram mais sensíveis desde que passaram a conviver com a cultura. “Eles têm olhar mais crítico e um processo criador mais aguçado. Elas relacionam as disciplinas com a realidade e melhoram o desempenho escolar, inclusive em outras disciplinas”, diz.
Para os estudantes, essas iniciativas se transformam em incentivo. “Nunca me senti desmotivada com a escola, mas ela ficou muito diferente na semana. Bem mais legal”, conta Nicolle, 9 anos. As crianças se encantaram com a oficina sobre produção de histórias em quadrinhos. “A gente aprendeu sobre onomatopeias e toda a criação”, completa. Marcos, 9 anos, também aprovou o projeto: “Conhecemos novos livros, novos quadros. Um monte de coisas que a gente não vê todos os dias”, diz.
Além do sarau, os professores inventaram a “mala da leitura”. A ideia simples – consiste em uma mochila com um livro, que deve passar por todos os alunos de uma turma para que todos leiam – é um dos principais incentivos à leitura. Com isso, os alunos passaram a mostrar interesse pela literatura, apesar da pouca idade. “Nos livros, a gente se sente como o personagem. Dá para notar que ler não é como filme, é bem melhor”, opina Isabelle, 10 anos.
Com criatividade, professores de escolas estaduais e municipais driblam a falta de recursos e encerram a monotonia em sala de aula, motivando seus alunos com iniciativas que fogem do padrão. Vale tudo para incentivar estudantes, desde instituir horário exclusivo à leitura – inclusive para funcionários –, organizar sarau para apresentar o mundo artístico ou desenvolver projetos interdisciplinares que tragam o conteúdo das disciplinas para a realidade. As inovações repercutem positivamente no aprendizado e, como consequência, no interesse pela escola e pela educação.
Há 14 anos, o professor de Biologia Nicolau Shigunov desenvolve, na Escola Estadual La Salle, no Pinheirinho, o projeto Túnel do Conhecimento. Uma vez por ano, o professor seleciona um tema, e os estudantes organizam uma apresentação para colegas e comunidade. “Este ano, nosso foco foi o meio ambiente”, conta. Os estudantes criaram a peça Corruptolândia – Sociedade do Lixo, encenando as consequências de uma sociedade que não conserva os recursos naturais. “Além de contextualizar o conteúdo, o teatro é uma maneira de trabalhar a interdisciplinariedade”, acrescenta.
ultima = 0;
Comunidade se envolve em ações
Projetos como o Túnel do Conhecimento ou Sarau Cultural movimentam a comunidade, muitas vezes alheia à escola. No caso da Escola Municipal Nimpha Maria da Rocha Peplow, o espaço permaneceu aberto aos moradores durante toda a semana de 1 a 6 de junho, de manhã à noite. “Como trouxemos artistas, houve interação com a comunidade, que participou das oficinas e visitou a escola”, diz Claudia Alessi, professora de Artes. “Há pessoas que moram próximo, mas nunca tinham entrado aqui. E a participação dos pais também incentiva as crianças”.
A apresentação da Corruptolândia – Sociedade do Lixo movimentou outras pessoas, além de estudantes e pais. A comunidade se mobiliza para assistir ao resultado do esforço e dedicação dos estudantes – que passam um fim de semana na montagem da estrutura. Professora da UFPR e doutora em Educação, Araci Asinelli da Luz afirma que a interação aguça o sentido de importância da escola. “Esses jovens, em geral de periferia, percebem que a escola é vida”, diz. O interesse pelo projeto de Nicolau Shigunov é tão grande que ex-estudantes pedem para participar da encenação. “Todo ano o pessoal fica na expectativa pelo projeto. Curioso para saber o tema e aguardando o agendamento da data”, afirma o professor de Biologia da Escola Estadual La Salle. (VB)
Participação
Funcionários aderem à leitura
Quarta-feira é o dia esperado na Escola Municipal Vila Zanon, no Tatuquara. Estudantes, professores e funcionários têm 20 minutos exclusivos para se dedicar à leitura. “Não precisa necessariamente ser livro, pode ser um texto, uma imagem, um jornal ou até uma gravura”, conta Rosana Faglioni Carrasco de Almeida, diretora da instituição. Se um pai procurar a escola nesse período, terá de que esperar. Ou aproveitar para colocar a leitura em dia. “A ideia é fazer com que todos se envolvam. Qualquer pessoa que chega percebe que é um momento importante”, afirma Rosana. E o temor de que a obrigatoriedade poderia afugentar os alunos da literatura se dissipou no momento em que os estudantes começaram a aproveitar o horário do recreio para ler. “Tornou-se algo maior”, diz Rosana. Com isso, “eles estão mais críticos. Conseguem comentar, argumentar, melhorando muito no raciocínio e produção de texto”, conta.
De acordo com Shigunov, o sistema de ensino está atrasado. Por isso, o uso de recursos audiovisuais é fundamental para atrair o interesse do aluno e facilitar o aprendizado. “Com os múltiplos recursos que existem, o aluno se desinteressa pela aula comum. No Túnel do Conhecimento, eles se envolvem, participam e aprendem”, diz. Doutora em Educação, a professora da Universidade Federal do Paraná (UFPR) Araci Asinelli da Luz explica que projetos como esse são essenciais para aproximar os estudantes da realidade. “Os currículos não têm significado para os alunos, afastando-os da escola. E isso desmotiva. Uma proposta dessa inclui o estudante como autor. Ele se sente bem”, diz.
Araci defende trabalhos diferenciados para transformar a concepção da escola para o estudante. “Isso coloca a instituição como ambiente rico para relações humanas”, diz. O bom relacionamento com o espaço favorece o cuidado com o local de estudo, seguindo a velha máxima de que “quem ama cuida”.
Semana cultural
A Escola Municipal Nimpha Maria da Rocha Peplow, no Vista Alegre, organizou, na primeira semana do mês, um sarau cultural. Nos cinco dias, profissionais de diversos ramos das artes – artistas plásticos, poetas, pintores, escritores e ilustradores – estiveram na escola expondo trabalhos, conversando com alunos e a comunidade, além de ministrar oficinas. “Desde o ano passado, promovemos iniciativas que envolvam a literatura e as artes”, conta a professora de Literatura, Ensino Religioso e responsável pela biblioteca da instituição, Lucia Felix Pedri. O pontapé inicial para o projeto deste ano ocorreu em função do centenário de nascimento de Sinibaldo Trombini, patrono da biblioteca da escola.
A professora de Artes Claudia Alessi afirma que as crianças se tornaram mais sensíveis desde que passaram a conviver com a cultura. “Eles têm olhar mais crítico e um processo criador mais aguçado. Elas relacionam as disciplinas com a realidade e melhoram o desempenho escolar, inclusive em outras disciplinas”, diz.
Para os estudantes, essas iniciativas se transformam em incentivo. “Nunca me senti desmotivada com a escola, mas ela ficou muito diferente na semana. Bem mais legal”, conta Nicolle, 9 anos. As crianças se encantaram com a oficina sobre produção de histórias em quadrinhos. “A gente aprendeu sobre onomatopeias e toda a criação”, completa. Marcos, 9 anos, também aprovou o projeto: “Conhecemos novos livros, novos quadros. Um monte de coisas que a gente não vê todos os dias”, diz.
Além do sarau, os professores inventaram a “mala da leitura”. A ideia simples – consiste em uma mochila com um livro, que deve passar por todos os alunos de uma turma para que todos leiam – é um dos principais incentivos à leitura. Com isso, os alunos passaram a mostrar interesse pela literatura, apesar da pouca idade. “Nos livros, a gente se sente como o personagem. Dá para notar que ler não é como filme, é bem melhor”, opina Isabelle, 10 anos.
quarta-feira, 22 de julho de 2009
Nimoy fala sobre o futuro de Jornada e de Spock
O ator Leonard Nimoy (Spock) foi ouvido pelo StarLand.com, numa entrevista muito legal, onde falou do passado, presente e futuro de Jornada nas Estrelas. Nimoy disse também que vê um futuro promissor para o jovem Spock, interpretado por Zachary Quinto, e se estaria disposto a participar da continuação de Star Trek.
Quando ouviu pela primeira vez que haveria um novo filme e que queriam que você interpretasse Spock novamente, houve uma parte de você que disse lá no fundo: “Não, eu terminei com o personagem”?
Nimoy: “Certamente houve hesitação, porque eu estava muito confortável, depois de tantos anos de distância, com a idéia de que não iria fazer Spock novamente. Eu apenas não pensava em mim, em termos de fazer esse papel novamente. Mas eu achei que seria, pelo menos, uma cortesia, ir e ouvir o que eles tinham para dizer. Tive uma excelente reunião com J.J. Abrams, Bob Orci e Alex Kurtzman. O meu sentimento deles foi muito diferente da experiência que eu tive nos últimos 12 ou 15 anos em relação a Jornada. Me senti, francamente, como uma espécie de uma pessoa de fora que não fazia uma visita há muitos anos. Minha conversa com J.J. e os outros realmente me deu a sensação de que eles estavam olhando para Jornada da maneira que eu olhei para ela a partir dos anos anteriores da série original e de alguns dos melhores filmes que fizemos. Eles foram muito de encontro com os meus sentimentos sobre o que fazer com que isso funcionasse e particularmente sobre o que tinha me animado em ser Spock. Então pensei, “Isto soa diferente da experiência que eu tive com Jornada por algum tempo”. Soava muito diferente. Eu achei que poderia ser merecedor de uma análise. Eles não tinham um script naquele momento, estavam apenas considerando escrever algo, mas deixaram bem claro que pretendiam escrever um script que seria importante envolver o personagem Spock. Então eles precisavam que eu, pelo menos, considerasse, porque se eu tivesse dito ”não” eles teriam de encontrar uma nova direção. Eu não disse ”não”, eu disse: “Acho que vocês estão interessados nas coisas que eu estou interessado. Irei aguardar a leitura do script”. E foi dessa forma que ficamos”.
Você tem um sentimento de realização com o personagem Spock depois deste filme, ou é o início de uma nova era para você e Spock?
Nimoy: “Ambos. Eu não sei sobre mim e Spock. Este filme certamente é o começo de uma nova era para Spock. É impossível prever sobre mim e Spock. Não tenho ideia de onde querem ir, e eu me sinto muito confortável de qualquer forma. Me sinto muito gratificado por ter sido capaz de ter algum tipo de encerramento. Se este é o encerramento, então estou muito confortável com isso. Eu não estava feliz com o encerramento que foi imposto ao personagem Spock alguns anos atrás, quando Spock foi simplesmente abandonado e Kirk foi morto em uma só tacada. Eu senti que ambos foram grandes perdas para Jornada. Não havia nenhuma razão para matar Kirk, e houve uma negligência com o personagem Spock. Parecia intencional. Parecia como se alguém estivesse dizendo: “Bem, temos de pôr fim a isso e começar com toda uma nova era aqui”. Tendo tido este filme e esta experiência como Spock e vendo Zachary Quinto no papel agora, sinto que o personagem tem um potencial maravilhoso, vida nova e, sem dúvida, o sucesso do filme é apenas fantástico. É maravilhoso ver isso acontecer, ver Jornada ter uma chance de uma reinvenção e uma reaproximação. Foi certamente a necessidade de uma reaproximação”.
Você pode descrever, a partir de sua perspectiva, como Spock mudou ao longo dos anos, desde o primeiro piloto a este último filme?
Nimoy: De muitas formas, sinto-me mais perto de Spock pessoalmente do que nunca tive. O Spock que intepretei neste filme está mais perto de mim, em minha condição pessoal de vida, do que já esteve antes. Foi uma “performance” durante os anos da série e os anos do filme, porque eu era muito mais humano e emocional, em termos mais amplos, do que o Spock que estava interpretando. Agora, isso não significa que Spock não tivesse emoções; como nós todos sabemos, Spock tinha a sua própria vida interior. Mas o que eu estava interpretando (na série) era muito lógico, muito frio, racional. Neste filme, o meu Spock conciliou com ele de uma maneira muito confortável. Então eu me vejo como Spock agora, considerando que Zachary fez um excelente trabalho nos trazendo um personagem Spock antes do Spock que eu interpretava na série original. E, finalmente, no final do filme, vemos que ele chega ao Spock que desempenhou durante a série original”.
Não era um risco este relançamento do original num filme com um elenco totalmente novo? As chances do público não aceitar novos atores nesses papéis clássicos foi bastante real. O que inspirou você a avançar com este projeto, apesar desse risco?
Nimoy: “Bem, eu realmente não estava tendo o risco, J.J. sim. Tudo se resume à questão de saber se o filme funcionaria e se você o faria com sucesso. Acho que ele fez isso extraordinariamente bem. Se ele não tivesse feito isso bem, poderia ter sido uma catástrofe. Mas isso é verdade, que em qualquer forma artística ou qualquer risco, você tem. Se você não correr riscos, você ficará sendo desinteressante. Quando eu primeiro coloquei as orelhas pontudas, há muitos anos, foi um risco”.
Eu imagino a primeira vez em que foi posta a maquiagem de Spock, por volta à década de 60, e você olhou no espelho, você se perguntou se isto iria funcionar?
Nimoy: “Fiquei espantado. Eu pensei, “Isso é perigoso! Isto poderia ser uma piada!”. Eu levei a minha carreira atuando muito a sério. Eu estava indo bem, eu estava fazendo uma vida como um ator e fazendo alguns papéis bastante decentes e este personagem Spock era um risco. Então, ele se torna uma questão de saber se vai funcionar ou não. Se funcionar, então você é um herói. Se isso não funcionar, você é um desastre”.
Eu me lembro muito claramente, várias vezes em toda a história de Jornada, que houve rumores sobre estarem trazendo de volta a franquia à tela grande ou à televisão e a reformulação dos papéis originais. Eu ainda lembro uma vez, acredito que foi antes de Star Trek – The Motion Picture, quando houve rumores de que Robert Redford estava sendo considerado para fazer o Capitão Kirk e Sr. Spock como Clint Eastwood e os fãs ficaram indignados.
Nimoy: “Eu posso entender a indignação perante este tipo de vazamento, mas estamos em um tempo diferente e em um lugar diferente agora. Acho que os fãs, em geral, entenderam que precisávamos de algum tipo de coisa fresca, nova abordagem para Jornada, uma nova visão. Isso é o que aconteceu com este filme. É uma visão fresca e muito bem sucedida”.
Você teve, inicialmente, alguma reserva sobre esta ideia do tempo alternativo e a destruição do planeta Vulcano?
Nimoy: “Não, eu achei que foi uma emocionante e inventiva forma de lidar com alguns problemas muito sérios que tinham a ver com a proteção do cânon. Foi uma maneira de dizer, “Olha, temos de nos libertar dessas algemas, caso contrário, estaremos parados, a cada passo de eventos de cada elemento de personagem, etc”. Tudo o que fizer ou disser, as pessoas vão comentar: “Bem, isso não se enquadra no cânon!”. Então, eles tinham que encontrar uma forma de dar si mesmos um novo começo e eu penso que o fizeram brilhantemente”.
Eu absolutamente amei esse filme, mas tenho de admitir que houve algo amargo sobre isso para mim, como um fã da série original, em que eu percebi que o elenco, que eu cresci amando, estava verdadeiramente indo embora agora e este novo e mais jovem elenco estava recebendo a tocha deles. Você tem algum sentimento sobre isso?
Nimoy: Sim, claro que sim. Mas se nós não pudermos aceitar o futuro, estaremos em apuros. Ben Cross está interpretando o pai de Spock. Mark Lenard morreu. Winona Ryder está fazendo a mãe de Spock, Jane Wyatt faleceu. Simon Pegg está no papel de Scotty e James Doohan se foi. DeForest Kelley morreu. Majel Barrett morreu. Temos de ser realistas a este respeito. Eu sou um cara nostálgico, adoro pensar no passado. Penso nisso com freqüência. Eu penso sobre os grandes momentos que tivemos e as dificuldades e os momentos emocionantes. Mas penso que é saudável para viver o “aqui-e-agora” e lidar com a realidade do presente. Estou vendo esse filme, não como uma coisa negativa, mas como uma coisa positiva. A estes personagens amados está sendo dada uma vida nova. Estou muito orgulhoso pelo fato destes personagens serem dignos de lidar com o novo. Criamos esses maravilhosos personagens e vale a pena fazer um novo investimento neles, observá-los e agora vê-los sob uma nova luz. Penso que é muito emocionante”.
Não lhe parece que este filme foi quase uma necessidade para manter a chama da franquia queimando brilhante, quando parecia que tinha perdido algum brilho nos últimos anos?
Nimoy: “Eu penso que foi absolutamente necessário para manter a franquia vibrante e em frente. Foi a mesma forma que usaram em Star Trek II: A Ira de Khan, colocando Jornada de volta no mapa, em 1982. Este filme está fazendo a mesma coisa, muitos anos mais tarde”.
Foi a última linha que você disse no filme, “propulsores a plena força”, uma simbólica passagem da tocha?
Nimoy: “Essa linha não estava no script. Quando fizemos a cena, eu disse ao J.J.: “Se você me der mais uma tomada, eu tenho um pensamento que gostaria de introduzir aqui e veja se você gosta dele”. Nós filmamos novamente e eu disse: “propulsores a plena força”. Era uma espécie de bênção e uma passagem da tocha. Foi uma ideia imediata e não estava no script. Então J.J. me ligou mais tarde e disse que ficou espantado com a forma como ela se enquadrou na próxima cena da ponte, porque eles começavam a falar sobre os propulsores. Então, houve uma ligação quase como se tivesse sido concebida dessa forma. Eu não estava pensando sobre a cena da ponte, eu estava simplesmente pensando em dizer a estes jovens rapazes, “vão em frente. Peguem a tocha e sigam!”.
Descreva como foi para você ver Zachary Quinto interpretar Spock pela primeira vez?
Nimoy: “Adorei! Acho que ele é fantástico. Eu admiro a forma como ele aborda seu trabalho. Ele é muito bem treinado, muito sério da melhor maneira. Ele é inteligente. Mandaram-me algumas imagens de quando ele estava sendo considerado para o papel e me pediram para dar uma olhada. Chamei-os imediatamente e disse: “Não só porque ele se parece bastante comigo, basta olhar para fazê-lo funcionar, mas também porque tem uma vida interior. Há uma mente pensante, você pode vê-la funcionando. Penso que é vital para o personagem e eu acho que ele vai ser maravilhoso”. Acho que ele tem feito algumas coisas ótimas com o personagem Spock”.
Foi estranho ver outro ator a sua frente interpretar Spock?
Nimoy: “Nos reunimos várias vezes antes das filmagens, porisso não foi a primeira vez que tinhamos estado na companhia um do outro. Foi a primeira vez para os personagens, mas não para os atores. Tínhamos passado horas juntos em vários momentos, durante as refeições e na minha casa, olhando para as filmagens de Jornada, em conjunto, e discutindo a filosofia e o make-up do personagem Spock. Quando ele chegou a tempo para fazer o papel, me senti muito confortável em trabalhar com ele. Eu apenas acho que ele é um ótimo ator. Ele fez me sentir orgulhoso e eu disse-lhe isso”.
Qual foi o aconselhamento mais importante que você deu para Zachary Quinto?
Nimoy: “Eu não posso dizer honestamente o que eu aconselhei para ele. Não foi realmente o processo de um orientador. Eu não disse: “Pense sobre isso” ou “faça isso” ou “não faça aquilo”. Não era esse tipo de conversa. Era sobre a filosofia da natureza, da origem do personagem e como ele evoluiu, quais os problemas de make-up e como isso evoluiu. Eu só estava dando a ele um pouco da história, desse modo ele teve algumas raízes de minha experiência para tirar. Não houve orientação ou aconselhamento. Ele é muito bem treinado e um cara inteligente. Ele sabia o que estava fazendo”.
Se você pudesse voltar no tempo, como Spock fez, que aviso daria a um Leonard Nimoy de 78 anos para um Leonard Nimoy de 30, quando ele estava iniciando no papel de Spock pela primeira vez?
Nimoy: “(Risos) Eu diria, “Esteja ciente de que as coisas mudam!”
Jornada estava começando a perder parte de sua popularidade nos últimos anos. Foi este filme, bem como a forma como foi feito, absolutamente essencial para a saúde futura da franquia e a sua capacidade para continuar como um entretenimento?
Nimoy: “Sim, creio que é verdade. É muito claro agora que o filme é um enorme sucesso e há toda uma nova geração de fãs que vem a bordo. Acho que vamos encontrar um interessante aumento nas vendas da série original, porque um grande número de novos fãs que está vendo este filme vai dizer: “Pôxa, eu gostaria de voltar e ver como isto tudo começou”. Portanto, a série original, que está agora em Blue-ray, irá receber um público mais vasto. Eu comprei os discos alguns dias atrás e não tive a oportunidade de olhar, mas sei que eles são lindos. Creio que haverá um enorme interesse na série original novamente e penso que é maravilhoso”.
Você acredita que houve uma influência do Star Wars neste filme?
Nimoy: “Eu tenho certeza que sim. Creio que não apenas Star Wars, mas também uma espécie de sensibilidade contemporânea, para o que a audiência olha em um filme, nestes dias. O que este filme consegue fazer é levar Jornada dentro de um olhar contemporâneo e com sensação, na medida em que um filme de aventura é concebido, mas também, excepcionalmente, tem um grande coração no centro do mesmo. Um monte de filmes com gigantescos efeitos, que estamos vendo nestes dias, não tem coração. Você vai embora sentindo um vazio. Você já viu uma enorme quantidade de deslumbramento e adrenalina, mas você perde o coração. Star Trek é um filme emocional. É espantoso como J.J. foi capaz de construir tanta emoção em escala gigantesca dentro deste filme de ação”.
Qual você acha que será o futuro do Spock velho após este filme?
Nimoy: “Minha sensação é de que ele tem algum trabalho a fazer. Ele falou sobre a criação de uma nova colônia Vulcana e eu acho que ele vai ficar muito envolvido nisso. Se nós nunca mais viermos a vê-lo novamente é o que eu ia imaginar que ele estaria fazendo. Ele está ocupado na reconstrução da história Vulcana”.
Tem havido muita conversa sobre o presidente Obama ser um admirador de Jornada e ser comparado com o personagem Spock. Ele ainda disse que viu o novo filme e gostou muito e em entrevista recente a Newsweek, ele mencionou a sua ligação com Spock. Alguma vez você já encontrou-se com o Presidente e discutiram sobre Jornada com ele?
Nimoy: “Eu o conheci duas vezes. Nós realmente não falamos sobre Jornada, mas na primeira vez que eu o conheci, ele me fez a primeira saudação Vulcana, quando me viu. Minha esposa e eu estávamos em um almoço para ele, há muito tempo. Ele estava no seu início da campanha para a Presidência. Ele passou por um grupo de pessoas, era uma pequena multidão, talvez de 60 ou 80 pessoas e ele me viu e levantou a mão no gesto Vulcano e disse: “Disseram-me que estava aqui”. Dei a saudação Vulcana em resposta ele e esse foi o começo do nosso relacionamento. Eu acredito que ele cresceu assistindo Jornada”.
Você acredita que este novo elenco de Star Trek terá a franquia seguindo-o através de suas carreiras como foi para você e seus colegas das séries?
Nimoy: “Eu acho que vai ser interessante assistir. Eu não posso prever isso. Acho que todas essas pessoas, obviamente, tem futuro como atores. Estão todos muito bem. Zachary ainda tem trabalho a fazer em Heroes. Chris Pine, obviamente, vai ser um galã. Zoe Saldana, acho que já está trabalhando em um outro filme (Avatar). Eles terão impulso nas carreira a partir deste filme, porque eles são bons. São profissionais, pessoas talentosas e merecem”.
Você acha que Gene Roddenberry ficaria feliz com o estado da franquia, nesses dias?
Nimoy: “Ah, estou certo de que ele iria gostar do que está acontecendo hoje. Eu acredito que ele iria se divertir muito. Foi muito ruim ele e Majel terem morrido, sem ver este espantoso relançamento da sua idéia original”.
Tal como está agora, o que você prevê para o futuro de Jornada?
Nimoy: “Está muito claro que a Paramount está interessada em fazer outro filme Star Trek. Acredito que, pelo menos um mês atrás, eles já tinham autorizado um script para ser produzido e que implica num investimento financeiro e numa expectativa de que haverá pelo menos um script para se ver. O meu entendimento é que será escrito pelo mesmos caras, Orci e Kurtzman. Eles estão, provavelmente, no trabalho sobre o desenvolvimento de uma história agora. Eu acho que existe muito forte interesse no próximo filme provenientes da audiência e do estúdio. Para além de outro filme, quem sabe? O futuro está aberto”.
Eu imagino que você está muito bem, com o espírito aberto para aparecer como Spock novamente se lhe pedirem?
Nimoy: “Não tenho ilusões quanto a precisarem ou não de mim. Eles decidiram que queriam fazer este filme usando Spock como uma espécie de âncora para a história, que eu penso que funcionou muito, muito bem. Eles não tem que fazer isso novamente. Se decidirem que tem um papel para mim eu ficaria muito interessado em conversar com eles sobre isso. Mas eu tenho todos os motivos para acreditar que eles estabeleceram todo um novo conjunto de personagens e podem velejar muito bem sem mim. De qualquer maneira é bom para mim. Estou muito satisfeito que isto tenha acontecido”.
Fonte: Trek Movie
segunda-feira, 22 de junho de 2009
Pesquisa comprova que preconceito atinge 99,3% do ambiente escolar no Brasil
O estudo, divulgado nesta quarta (17), em São Paulo, e pioneiro no Brasil, foi realizado com o objetivo de dar subsídios para a criação de ações que transformem a escola em um ambiente de promoção da diversidade e do respeito às diferenças17/06/2009 17:25
Pesquisa realizada em 501 escolas públicas de todo o país, baseada em entrevistas com mais de 18,5 mil alunos, pais e mães, diretores, professores e funcionários, revelou que 99,3% dessas pessoas demonstram algum tipo de preconceito étnico-racial, socioeconômico, com relação a portadores de necessidades especiais, gênero, geração, orientação sexual ou territorial. O estudo, divulgado nesta quarta (17), em São Paulo, e pioneiro no Brasil, foi realizado com o objetivo de dar subsídios para a criação de ações que transformem a escola em um ambiente de promoção da diversidade e do respeito às diferenças.
De acordo com a pesquisa Preconceito e Discriminação no Ambiente Escolar, realizada pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe) a pedido do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), 96,5% dos entrevistados têm preconceito com relação a portadores de necessidades especiais, 94,2% têm preconceito étnico-racial, 93,5% de gênero, 91% de geração, 87,5% socioeconômico, 87,3% com relação orientação sexual e 75,95% têm preconceito territorial.
Segundo o coordenador do trabalho, José Afonso Mazzon, professor da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo (FEA-USP), a pesquisa conclui que as escolas são ambientes onde o preconceito é bastante disseminado entre todos os atores. Não existe alguém que tenha preconceito em relação a uma área e não tenha em relação a outra. A maior parte das pessoas tem de três a cinco áreas de preconceito. O fato de todo indivíduo ser preconceituoso é generalizada e preocupante, disse.
Com relação intensidade do preconceito, o estudo avaliou que 38,2% têm mais preconceito com relação ao gênero e que isso parte do homem com relação mulher. Com relação geração (idade), 37 9% têm preconceito principalmente com relação aos idosos. A intensidade da atitude preconceituosa chega a 32,4% quando se trata de portadores de necessidades especiais e fica em 26,1% com relação orientação sexual, 25,1% quando se trata de diferença socioeconômica, 22,9% étnico-racial e 20,65% territorial.
O estudo indica ainda que 99,9% dos entrevistados desejam manter distância de algum grupo social. Os deficientes mentais são os que sofrem maior preconceito com 98,9% das pessoas com algum nível de distância social, seguido pelos homossexuais com 98,9%, ciganos (97,3%), deficientes físicos (96,2%), índios (95,3%), pobres (94,9%), moradores da periferia ou de favelas (94,6%), moradores da área rural (91,1%) e negros (90,9%).
De acordo com o diretor de Estudos e Acompanhamentos da Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade (Secad) do Ministério da Educação (MEC), Daniel Chimenez, o resultado desse estudo será analisado detalhadamente uma vez que o MEC já demonstrou preocupação com o tema e com a necessidade de melhorar o ambiente escolar e de ampliar ações de respeito diversidade.
No MEC já existem iniciativas nesse sentido [de respeito diversidade], o que precisa é melhorar, aprofundar, alargar esse tipo de abordagem, talvez até para a criação de um possível curso de ambiente escolar que reflita todas essas temáticas em uma abordagem integrada, disse.
gazeta do povo
Pesquisa realizada em 501 escolas públicas de todo o país, baseada em entrevistas com mais de 18,5 mil alunos, pais e mães, diretores, professores e funcionários, revelou que 99,3% dessas pessoas demonstram algum tipo de preconceito étnico-racial, socioeconômico, com relação a portadores de necessidades especiais, gênero, geração, orientação sexual ou territorial. O estudo, divulgado nesta quarta (17), em São Paulo, e pioneiro no Brasil, foi realizado com o objetivo de dar subsídios para a criação de ações que transformem a escola em um ambiente de promoção da diversidade e do respeito às diferenças.
De acordo com a pesquisa Preconceito e Discriminação no Ambiente Escolar, realizada pela Fundação Instituto de Pesquisas Econômicas (Fipe) a pedido do Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (Inep), 96,5% dos entrevistados têm preconceito com relação a portadores de necessidades especiais, 94,2% têm preconceito étnico-racial, 93,5% de gênero, 91% de geração, 87,5% socioeconômico, 87,3% com relação orientação sexual e 75,95% têm preconceito territorial.
Segundo o coordenador do trabalho, José Afonso Mazzon, professor da Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da Universidade de São Paulo (FEA-USP), a pesquisa conclui que as escolas são ambientes onde o preconceito é bastante disseminado entre todos os atores. Não existe alguém que tenha preconceito em relação a uma área e não tenha em relação a outra. A maior parte das pessoas tem de três a cinco áreas de preconceito. O fato de todo indivíduo ser preconceituoso é generalizada e preocupante, disse.
Com relação intensidade do preconceito, o estudo avaliou que 38,2% têm mais preconceito com relação ao gênero e que isso parte do homem com relação mulher. Com relação geração (idade), 37 9% têm preconceito principalmente com relação aos idosos. A intensidade da atitude preconceituosa chega a 32,4% quando se trata de portadores de necessidades especiais e fica em 26,1% com relação orientação sexual, 25,1% quando se trata de diferença socioeconômica, 22,9% étnico-racial e 20,65% territorial.
O estudo indica ainda que 99,9% dos entrevistados desejam manter distância de algum grupo social. Os deficientes mentais são os que sofrem maior preconceito com 98,9% das pessoas com algum nível de distância social, seguido pelos homossexuais com 98,9%, ciganos (97,3%), deficientes físicos (96,2%), índios (95,3%), pobres (94,9%), moradores da periferia ou de favelas (94,6%), moradores da área rural (91,1%) e negros (90,9%).
De acordo com o diretor de Estudos e Acompanhamentos da Secretaria de Educação Continuada, Alfabetização e Diversidade (Secad) do Ministério da Educação (MEC), Daniel Chimenez, o resultado desse estudo será analisado detalhadamente uma vez que o MEC já demonstrou preocupação com o tema e com a necessidade de melhorar o ambiente escolar e de ampliar ações de respeito diversidade.
No MEC já existem iniciativas nesse sentido [de respeito diversidade], o que precisa é melhorar, aprofundar, alargar esse tipo de abordagem, talvez até para a criação de um possível curso de ambiente escolar que reflita todas essas temáticas em uma abordagem integrada, disse.
gazeta do povo
sexta-feira, 12 de junho de 2009
Origem dos Números Negativos
O número é um conceito fundamental em Matemática que tomou forma num longo desenvolvimento histórico. A origem e formulação deste conceito ocorreu simultaneamente com o despontar, entenda-se nascimento, e desenvolvimento da Matemática. As atividades práticas do homem, por um lado, e as exigências internas da Matemática por outro determinaram o desenvolvimento do conceito de número. A necessidade de contar objetos levou ao aparecimento do conceito de número Natural.
Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x +203x -18 = 5x^2
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Todas as nações que desenvolveram formas de escrita introduziram o conceito de número Natural e desenvolveram um sistema de contagem. O desenvolvimento subsequente do conceito de número prosseguiu principalmente devido ao próprio desenvolvimento da Matemática. Os números negativos aparecem pela primeira vez na China antiga. Os chineses estavam acostumados a calcular com duas coleções de barras - vermelha para os números positivos e preta para os números negativos.No entanto, não aceitavam a ideia de um número negativo poder ser solução de uma equação. Os Matemáticos indianos descobriram os números negativos quando tentavam formular um algoritmo para a resolução de equações quadráticas. São exemplo disso as contribuições de Brahomagupta, pois a aritmética sistematizada dos números negativos encontra-se pela primeira vez na sua obra. As regras sobre grandezas eram já conhecidas através dos teoremas gregos sobre subtracção, como por exemplo (a -b)(c -d) = ac +bd -ad -bc, mas os hindus converteram-nas em regras numéricas sobre números negativos e positivos.
Diofanto (Séc. III) operou facilmente com os números negativos. Eles apareciam constantemente em cálculos intermédios em muitos problemas do seu "Aritmetika", no entanto havia certos problemas para o qual as soluções eram valores inteiros negativos como por exemplo:
4 = 4x +203x -18 = 5x^2
Nestas situações Diofanto limitava-se a classificar o problema de absurdo. Nos séculos XVI e XVII, muitos matemáticos europeus não apreciavam os números negativos e, se esses números apareciam nos seus cálculos, eles consideravam-nos falsos ou impossíveis. Exemplo deste facto seria Michael Stifel (1487- 1567) que se recusou a admitir números negativos como raízes de uma equação, chamando-lhes de "numeri absurdi". Cardano usou os números negativos embora chamando-os de "numeri ficti". A situação mudou a partir do (Séc.XVIII) quando foi descoberta uma interpretação geométrica dos números positivos e negativos como sendo segmentos de direções opostas.
Demonstração da Regra dos Sinais
Euler, um virtuoso do cálculo como se constata nos seus artigos científicos pela maneira audaz como manejava os números relativos e sem levantar questões quanto à legitimidade das suas construções forneceu uma explicação ou justificação para a regra os sinais. Consideremos os seus argumentos:
1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a reais é uma dívida de 3a reais, logo
(b).(-a) = -ab.
2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente.
Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.
1- A multiplicação de uma dívida por um número positivo não oferece dificuldade, pois 3 dívidas de a reais é uma dívida de 3a reais, logo
(b).(-a) = -ab.
2- Por comutatividade, Euler deduziu que (-a).(b) = -ab
Destes dois argumentos conclui que o produto de uma quantidade positiva por uma quantidade negativa e vice-versa é uma quantidade negativa.
3- Resta determinar qual o produto de (-a) por (-b). É evidente diz Euler que o valor absoluto é ab. É pois então necessário decidir-se entre ab ou -ab. Mas como (-a) ´ b é -ab, só resta como única possibilidade que (-a).(-b) = +ab.
É claro que este tipo de argumentação vem demonstrar que qualquer "espírito" mais zeloso, como Stendhal, não pode ficar satisfeito, pois principalmente o terceiro argumento de Euler não consegue provar ou mesmo justificar coerentemente que - por - = +. No fundo, este tipo de argumentação denota que Euler não tinha ainda conhecimentos suficientes para justificar estes resultados aceitalvelmente.
Na mesma obra de Euler podemos verificar que ele entende os números negativos como sendo apenas uma quantidade que se pode representar por uma letra precedida do sinal - (menos). Euler não compreende ainda que os números negativos são quantidades menores que zero.
terça-feira, 9 de junho de 2009
Schwarzenegger quer substituir livros didáticos por ensino online
RIO - O exterminador do futuro Arnold Schwarzenegger apresentou nesta semana um plano para
substituir os livros didáticos tradicionais nas escolas californianas por recursos digitais como o
Facebook, Twitter e iPods. Com isso, o governador da Califórnia pretende reduzir o déficit orçamentário
do estado, que ultrapassa os US$ 24 bilhões.
Schwarzenegger acredita que com a medida os alunos terão uma melhor formação. Segundo o El País, o
ator austríaco nota que os jovens são pioneiros em adotar sites como Facebook e Twitter e baixar
arquivos para seus iPods. Graças a essa familiaridade, a internet também se apresenta como a melhor
maneira de distribuir conteúdo em salas de aula. Além disso, textos digitais são mais fáceis de se adaptar
de modo a manter o ensino atualizado.
http://oglobo.globo.com/tecnologia/mat/2009/06/09/schwarzeneg...-substituir-livros-didaticos-por-ensino-online-756261272.asp (1 of 2)9/6/2009 17:39:32
Schwarzenegger quer substituir livros didáticos por ensino online - O Globo Online
A partir do próximo ano letivo, que nos EUA começa em agosto, os estudantes de ciências e matemática
nas escolas da Califórnia terão acesso a textos online, que passarão por revisões acadêmicas.
Não deixando de lado as possíveis vantagens de aprendizado, o principal motivo da mudança é dinheiro.
Segundo reportagem da BBC, a Califórnia gastou no ano passado US$ 350 milhões com livros didáticos.
Na segunda-feira, o governador assinou uma ordem que retira o financiamento de contratos a partir do
dia 1º de março para evitar que agências estatais firmem novos compromissos de compra de livros.
- Cada departamento e agência estatal deve detalhar como gastou cada centavo dos contratos, para
estarmos seguros de que o Estado está conseguindo fazer o melhor com o dinheiro do contribuinte -
disse Schwarzenegger.
substituir os livros didáticos tradicionais nas escolas californianas por recursos digitais como o
Facebook, Twitter e iPods. Com isso, o governador da Califórnia pretende reduzir o déficit orçamentário
do estado, que ultrapassa os US$ 24 bilhões.
Schwarzenegger acredita que com a medida os alunos terão uma melhor formação. Segundo o El País, o
ator austríaco nota que os jovens são pioneiros em adotar sites como Facebook e Twitter e baixar
arquivos para seus iPods. Graças a essa familiaridade, a internet também se apresenta como a melhor
maneira de distribuir conteúdo em salas de aula. Além disso, textos digitais são mais fáceis de se adaptar
de modo a manter o ensino atualizado.
http://oglobo.globo.com/tecnologia/mat/2009/06/09/schwarzeneg...-substituir-livros-didaticos-por-ensino-online-756261272.asp (1 of 2)9/6/2009 17:39:32
Schwarzenegger quer substituir livros didáticos por ensino online - O Globo Online
A partir do próximo ano letivo, que nos EUA começa em agosto, os estudantes de ciências e matemática
nas escolas da Califórnia terão acesso a textos online, que passarão por revisões acadêmicas.
Não deixando de lado as possíveis vantagens de aprendizado, o principal motivo da mudança é dinheiro.
Segundo reportagem da BBC, a Califórnia gastou no ano passado US$ 350 milhões com livros didáticos.
Na segunda-feira, o governador assinou uma ordem que retira o financiamento de contratos a partir do
dia 1º de março para evitar que agências estatais firmem novos compromissos de compra de livros.
- Cada departamento e agência estatal deve detalhar como gastou cada centavo dos contratos, para
estarmos seguros de que o Estado está conseguindo fazer o melhor com o dinheiro do contribuinte -
disse Schwarzenegger.
A vingança dos cursos técnicos
A lei proibiu durante alguns anos, mas o Brasil abriu os olhos para investir na formação técnica dos alunos do ensino médio09/06/2009 03:01 Tatiana Duarte
A formação técnica e o rápido ingresso no mercado do trabalho têm motivado uma imensa parcela dos jovens a procurar os cursos técnicos de nível médio no Brasil, que depois de serem até mesmo proibidos por lei voltaram a ser realidade no país. Os dados favorecem a escolha pelos cursos técnicos: a formação especializada no ensino médio é a mais requisitada pelo mercado de trabalho da atualidade. De acordo com pesquisa do Ministério da Educação (MEC), 72% dos 2.657 egressos formados entre 2003 e 2007 nos cursos técnicos da rede federal estão no mercado.
Além de todos os que já estão contratados, há vagas para mais 6 milhões de trabalhadores com curso técnico. Pelo menos essa é a conta do reitor do Instituto Federal do Paraná (IFPR), Alípio Santos Leal. “Até 1999 existia uma demanda reprimida na oferta de cursos técnicos, que permaneceu até 2008, quando foram criados os Institutos Federais”, diz. Em 2007, o governo federal lançou o programa Brasil Profissionalizado, que culminou no lançamento da rede federal de escolas técnicas, transformadas em institutos. Até 2011 o investimento deve atingir R$ 900 milhões.
Na opinião do presidente do Instituto Brasileiro de Desenvolvimento Econômico e Social (Ibdes), Heitor Krause, o ensino técnico foi sucateado em todo o país nas décadas de 80 e 90. Em 1996, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) passou a proibir a realização do curso técnico integrado ao ensino médio. A legislação só foi modificada em 2004, possibilitando novamente essa integração. Entre as principais diferenças em relação ao ensino médio normal está o tempo de estudo. São necessários quatro anos para concluir um curso integrado com o ensino profissionalizante. “Com isso tivemos inclusive muitas escolas técnicas fechadas, mas o governo constatou e reparou o erro. Os contratantes identificaram que os técnicos e tecnólogos terminam o curso aptos a produzir imediatamente – coisa que não ocorre no âmbito acadêmico, com os formados nos cursos de graduação”, afirma Krause.
Engana-se quem pensa que vai estudar menos num curso técnico de nível médio. A estudante do 2º ano de química industrial, do Centro Estadual de Educação Profissional de Curitiba, Adriana dos Santos Moraes, 16 anos, ressalta que é preciso muita dedicação. “Não dá para levar de qualquer jeito. Estudo bastante. Talvez não estivesse tão entusiasmada no ensino médio normal”, diz.
A escolha precoce não é empecilho, conforme lembra Bruna Godói, 16 anos, que, além de optar pelo ensino médio integrado ao técnico quando concluiu a 8ª série do ensino fundamental, há cerca de dois anos, teve de escolher uma área específica. “Pensava em algo diferente, que não ficasse somente no geral. Quero fazer engenharia química depois de concluir aqui”, diz.
Ameaça e preconceito
Tanto Bruna quanto Adriana estudam hoje num colégio que ficou ameaçado a fechar na época em que a lei deixou de permitir o ensino médio integrado ao profissionalizante. O Centro Estadual de Educação Profissionalizante de Curitiba (antigo Instituto Politécnico Estadual), que hoje atende cerca de 3,5 mil alunos, chegou a funcionar com apenas 200. Turmas de técnico integrado ao ensino médio só voltaram a ser abertas em 2004. “A escola não tinha recursos para se manter e chegamos a cobrar mensalidade para os cursos técnicos. Foram tempos muitos difíceis”, diz o diretor Edson Luiz Martins.
Desde 2004, a rede estadual de ensino passou a ofertar cursos técnicos integrados ao ensino médio em colégios públicos estaduais. Atualmente são 40 opções que atendem cerca de 40 mil estudantes em 285 escolas de 163 cidades. A chefe do Departamento de Educação e Trabalho (DET), Sonia Regina de Oliveira Garcia, ressalta que a intenção é dobrar o número de cursos em 2011.
gazeta do povo
A formação técnica e o rápido ingresso no mercado do trabalho têm motivado uma imensa parcela dos jovens a procurar os cursos técnicos de nível médio no Brasil, que depois de serem até mesmo proibidos por lei voltaram a ser realidade no país. Os dados favorecem a escolha pelos cursos técnicos: a formação especializada no ensino médio é a mais requisitada pelo mercado de trabalho da atualidade. De acordo com pesquisa do Ministério da Educação (MEC), 72% dos 2.657 egressos formados entre 2003 e 2007 nos cursos técnicos da rede federal estão no mercado.
Além de todos os que já estão contratados, há vagas para mais 6 milhões de trabalhadores com curso técnico. Pelo menos essa é a conta do reitor do Instituto Federal do Paraná (IFPR), Alípio Santos Leal. “Até 1999 existia uma demanda reprimida na oferta de cursos técnicos, que permaneceu até 2008, quando foram criados os Institutos Federais”, diz. Em 2007, o governo federal lançou o programa Brasil Profissionalizado, que culminou no lançamento da rede federal de escolas técnicas, transformadas em institutos. Até 2011 o investimento deve atingir R$ 900 milhões.
Na opinião do presidente do Instituto Brasileiro de Desenvolvimento Econômico e Social (Ibdes), Heitor Krause, o ensino técnico foi sucateado em todo o país nas décadas de 80 e 90. Em 1996, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) passou a proibir a realização do curso técnico integrado ao ensino médio. A legislação só foi modificada em 2004, possibilitando novamente essa integração. Entre as principais diferenças em relação ao ensino médio normal está o tempo de estudo. São necessários quatro anos para concluir um curso integrado com o ensino profissionalizante. “Com isso tivemos inclusive muitas escolas técnicas fechadas, mas o governo constatou e reparou o erro. Os contratantes identificaram que os técnicos e tecnólogos terminam o curso aptos a produzir imediatamente – coisa que não ocorre no âmbito acadêmico, com os formados nos cursos de graduação”, afirma Krause.
Engana-se quem pensa que vai estudar menos num curso técnico de nível médio. A estudante do 2º ano de química industrial, do Centro Estadual de Educação Profissional de Curitiba, Adriana dos Santos Moraes, 16 anos, ressalta que é preciso muita dedicação. “Não dá para levar de qualquer jeito. Estudo bastante. Talvez não estivesse tão entusiasmada no ensino médio normal”, diz.
A escolha precoce não é empecilho, conforme lembra Bruna Godói, 16 anos, que, além de optar pelo ensino médio integrado ao técnico quando concluiu a 8ª série do ensino fundamental, há cerca de dois anos, teve de escolher uma área específica. “Pensava em algo diferente, que não ficasse somente no geral. Quero fazer engenharia química depois de concluir aqui”, diz.
Ameaça e preconceito
Tanto Bruna quanto Adriana estudam hoje num colégio que ficou ameaçado a fechar na época em que a lei deixou de permitir o ensino médio integrado ao profissionalizante. O Centro Estadual de Educação Profissionalizante de Curitiba (antigo Instituto Politécnico Estadual), que hoje atende cerca de 3,5 mil alunos, chegou a funcionar com apenas 200. Turmas de técnico integrado ao ensino médio só voltaram a ser abertas em 2004. “A escola não tinha recursos para se manter e chegamos a cobrar mensalidade para os cursos técnicos. Foram tempos muitos difíceis”, diz o diretor Edson Luiz Martins.
Desde 2004, a rede estadual de ensino passou a ofertar cursos técnicos integrados ao ensino médio em colégios públicos estaduais. Atualmente são 40 opções que atendem cerca de 40 mil estudantes em 285 escolas de 163 cidades. A chefe do Departamento de Educação e Trabalho (DET), Sonia Regina de Oliveira Garcia, ressalta que a intenção é dobrar o número de cursos em 2011.
gazeta do povo
sexta-feira, 5 de junho de 2009
Será Deus um matemático?
A geometria vem de um cérebro adaptado ao mundo em que existe
O título desta coluna vem de um livro recém-lançado nos EUA, de autoria do astrofísico Mario Livio. Nele, Livio examina a origem da matemática. Será ela obra da mente humana, uma invenção? Ou será que descobrimos a matemática que já existe, uma espécie de superestrutura conceitual que define o Universo e suas leis? Os que acreditam que seja esse o caso gostam da metáfora (atenção!) de que a matemática é a expressão da mente de Deus: Deus é o grande geômetra, o arquiteto universal.O grande físico teórico Eugene Wigner, que ganhou o Prêmio Nobel pelos seus estudos das simetrias matemáticas que regem o comportamento atômico, achava a eficácia da matemática na descrição dos fenômenos naturais surpreendente. Por que ela funciona tão bem a ponto de nos permitir prever coisas que nem sabíamos que poderiam existir? Por exemplo, quando o escocês James Clerk Maxwell mostrou que todos os fenômenos elétricos e magnéticos podem ser descritos por apenas quatro equações, não poderia imaginar que dessa união viria a descoberta de que a luz é uma onda eletromagnética e que outras existem, invisíveis aos nossos olhos, como os raios X ou as micro-ondas. Várias partículas elementares da matéria foram descobertas usando apenas princípios de simetria. Será que a natureza é mesmo uma estrutura matemática?Livio descreve argumentos a favor dessa hipótese e contra ela, optando por uma solução de compromisso: parte é descoberta e parte inventada.A favor, ele mostra como, de fato, a matemática tem uma permanência diversa da das ciências naturais: um teorema matemático, uma vez demonstrado, é correto para sempre. Já em física ou química, explicações que parecem razoáveis numa época às vezes se provam erradas, ou aproximações de explicações mais sofisticadas.Será, então, que uma civilização extraterrestre redescobriria os mesmos resultados matemáticos do que nós, como se fossem uma espécie de código da natureza? Pitágoras, Platão, Galileu, Newton, Einstein, muitos matemáticos (mas não todos) e os físicos que hoje trabalham em teorias de supercordas diriam que sim. Talvez mudem os símbolos, mas a essência dos resultados seria a mesma.Um astrofísico do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), Max Tegmark, chega a afirmar que o Universo é matemática e que infinitos outros universos existem, replicando todas as combinações lógicas e geométricas possíveis. Acho que Tegmark confundiu a ficção de Jorge Luis Borges com a realidade. Sua posição é, para mim, religiosa.Não há dúvida de que certos resultados matemáticos, como 2 + 2 = 4, são verdadeiros independentemente de como sejam descritos. Mesmo assim, vou além de Livio e afirmo que a matemática é uma invenção humana, uma linguagem criada para descrever a nossa realidade. Somos produtos de milhões de anos de evolução, adaptados ao mundo em que vivemos.Na superfície da Terra vemos árvores, pedras e animais, unidades que naturalmente definem os números inteiros, que usamos para contar. No céu vemos estrelas e imaginamos constelações. Uma criatura marinha inteligente e solitária, vivendo nas profundezas e sem luz ou outras formas de vida por perto, provavelmente desenvolveria uma outra matemática.Nossa geometria descreve aproximadamente as formas que vemos à nossa volta; esferas, quadrados, cubos, círculos, linhas. Ela vem de um cérebro adaptado ao mundo em que existe. Se uma civilização extraterrestre tiver desenvolvido linguagem equivalente, é porque existe numa realidade semelhante. O único Deus matemático é aquele que inventamos.
O título desta coluna vem de um livro recém-lançado nos EUA, de autoria do astrofísico Mario Livio. Nele, Livio examina a origem da matemática. Será ela obra da mente humana, uma invenção? Ou será que descobrimos a matemática que já existe, uma espécie de superestrutura conceitual que define o Universo e suas leis? Os que acreditam que seja esse o caso gostam da metáfora (atenção!) de que a matemática é a expressão da mente de Deus: Deus é o grande geômetra, o arquiteto universal.O grande físico teórico Eugene Wigner, que ganhou o Prêmio Nobel pelos seus estudos das simetrias matemáticas que regem o comportamento atômico, achava a eficácia da matemática na descrição dos fenômenos naturais surpreendente. Por que ela funciona tão bem a ponto de nos permitir prever coisas que nem sabíamos que poderiam existir? Por exemplo, quando o escocês James Clerk Maxwell mostrou que todos os fenômenos elétricos e magnéticos podem ser descritos por apenas quatro equações, não poderia imaginar que dessa união viria a descoberta de que a luz é uma onda eletromagnética e que outras existem, invisíveis aos nossos olhos, como os raios X ou as micro-ondas. Várias partículas elementares da matéria foram descobertas usando apenas princípios de simetria. Será que a natureza é mesmo uma estrutura matemática?Livio descreve argumentos a favor dessa hipótese e contra ela, optando por uma solução de compromisso: parte é descoberta e parte inventada.A favor, ele mostra como, de fato, a matemática tem uma permanência diversa da das ciências naturais: um teorema matemático, uma vez demonstrado, é correto para sempre. Já em física ou química, explicações que parecem razoáveis numa época às vezes se provam erradas, ou aproximações de explicações mais sofisticadas.Será, então, que uma civilização extraterrestre redescobriria os mesmos resultados matemáticos do que nós, como se fossem uma espécie de código da natureza? Pitágoras, Platão, Galileu, Newton, Einstein, muitos matemáticos (mas não todos) e os físicos que hoje trabalham em teorias de supercordas diriam que sim. Talvez mudem os símbolos, mas a essência dos resultados seria a mesma.Um astrofísico do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), Max Tegmark, chega a afirmar que o Universo é matemática e que infinitos outros universos existem, replicando todas as combinações lógicas e geométricas possíveis. Acho que Tegmark confundiu a ficção de Jorge Luis Borges com a realidade. Sua posição é, para mim, religiosa.Não há dúvida de que certos resultados matemáticos, como 2 + 2 = 4, são verdadeiros independentemente de como sejam descritos. Mesmo assim, vou além de Livio e afirmo que a matemática é uma invenção humana, uma linguagem criada para descrever a nossa realidade. Somos produtos de milhões de anos de evolução, adaptados ao mundo em que vivemos.Na superfície da Terra vemos árvores, pedras e animais, unidades que naturalmente definem os números inteiros, que usamos para contar. No céu vemos estrelas e imaginamos constelações. Uma criatura marinha inteligente e solitária, vivendo nas profundezas e sem luz ou outras formas de vida por perto, provavelmente desenvolveria uma outra matemática.Nossa geometria descreve aproximadamente as formas que vemos à nossa volta; esferas, quadrados, cubos, círculos, linhas. Ela vem de um cérebro adaptado ao mundo em que existe. Se uma civilização extraterrestre tiver desenvolvido linguagem equivalente, é porque existe numa realidade semelhante. O único Deus matemático é aquele que inventamos.
Beleza e verdade
Einstein defendia o belo como critério de verdade em teorias científicas
Em 1819, o poeta inglês John Keats, um dos expoentes do movimento romântico, escreveu: "a verdade é bela e a beleza, verdade. Isso é tudo o que precisas saber em vida; tudo o que precisas saber". (Perdoem-me pela tradução amadora.)Apesar das várias críticas argumentando que essas linhas são inocentes e que até estragam o poema (como escreveu T. S. Eliot, outro grande poeta), a fama delas ultrapassa os comentários negativos. Tanto que viraram até nome de livro, como no caso da recente obra do matemático Ian Stewart, onde ele conta a história da busca por simetria (que ele equaciona com beleza) na matemática e na física teórica.Historicamente, a matemática é extremamente eficiente na descrição dos fenômenos naturais. O prêmio Nobel Eugene Wigner escreveu sobre a "surpreendente eficácia da matemática na formulação das leis da física, algo que nem compreendemos nem merecemos". Toquei outro dia na questão de a matemática ser uma descoberta ou uma invenção humana.Aqueles que defendem que ela seja uma descoberta creem que existem verdades universais e inalteráveis, independentes da criatividade humana. Nossa pesquisa simplesmente desvenda as leis e teoremas que estão por aí, existindo em algum meta-espaço das ideias, como dizia já Platão.Nesse caso, uma civilização alienígena descobriria a mesma matemática, mesmo se a representasse com símbolos distintos. Se a matemática for uma descoberta, todas as inteligências cósmicas (se existirem) vão obter os mesmos resultados. Assim, ela seria uma língua universal e única. Os que creem que a matemática é inventada, como eu, argumentam que nosso cérebro é produto de milhões de anos de evolução em circunstâncias bem particulares, que definiram o progresso da vida no nosso planeta.Conexões entre a realidade que percebemos e abstrações geométricas e algébricas são resultado de como vemos e interpretamos o mundo.Em outras palavras, a matemática humana é produto da nossa história evolutiva. Claro, civilizações que se desenvolverem em situações semelhantes (na superfície de um planeta rochoso com muita água e vegetação, sob um sol irradiando principalmente na porção visível do espectro eletromagnético etc.) poderão obter uma matemática semelhante: a matemática reflete as mentes que a criam.Mas qual a relação da matemática com a beleza? Matemáticos e físicos atribuem beleza à teoremas e teorias, criando uma estética da "verdade". Os mais belos são aqueles que conseguem explicar muito com pouco.Quando possível, os teoremas e teorias mais belos são também os mais simples; dadas duas ou mais explicações para o mesmo fenômeno, vence a mais simples. Esse critério é conhecido como a "lâmina de Ockham", atribuído a William de Ockham, um teólogo inglês do século 14.Einstein, dentre outros, era um defensor da beleza como critério de verdade em teorias científicas: uma teoria tem que ser bela para estar correta. E, sem dúvida, muitas dela são, ao menos de acordo com critérios de elegância e simplicidade na matemática.Para os que creem na matemática como linguagem universal, essa estética leva à existência de uma única verdade. Acho isso preocupante, pois me soa como ecos de um monoteísmo judaico-cristão, uma infiltração religiosa, mesmo que sutil e metafórica, nas ciências. Melhor é defender a matemática e a beleza como nossa invenção. Criamos uma linguagem para descrever o mundo, que não podemos deixar de achar bela
Em 1819, o poeta inglês John Keats, um dos expoentes do movimento romântico, escreveu: "a verdade é bela e a beleza, verdade. Isso é tudo o que precisas saber em vida; tudo o que precisas saber". (Perdoem-me pela tradução amadora.)Apesar das várias críticas argumentando que essas linhas são inocentes e que até estragam o poema (como escreveu T. S. Eliot, outro grande poeta), a fama delas ultrapassa os comentários negativos. Tanto que viraram até nome de livro, como no caso da recente obra do matemático Ian Stewart, onde ele conta a história da busca por simetria (que ele equaciona com beleza) na matemática e na física teórica.Historicamente, a matemática é extremamente eficiente na descrição dos fenômenos naturais. O prêmio Nobel Eugene Wigner escreveu sobre a "surpreendente eficácia da matemática na formulação das leis da física, algo que nem compreendemos nem merecemos". Toquei outro dia na questão de a matemática ser uma descoberta ou uma invenção humana.Aqueles que defendem que ela seja uma descoberta creem que existem verdades universais e inalteráveis, independentes da criatividade humana. Nossa pesquisa simplesmente desvenda as leis e teoremas que estão por aí, existindo em algum meta-espaço das ideias, como dizia já Platão.Nesse caso, uma civilização alienígena descobriria a mesma matemática, mesmo se a representasse com símbolos distintos. Se a matemática for uma descoberta, todas as inteligências cósmicas (se existirem) vão obter os mesmos resultados. Assim, ela seria uma língua universal e única. Os que creem que a matemática é inventada, como eu, argumentam que nosso cérebro é produto de milhões de anos de evolução em circunstâncias bem particulares, que definiram o progresso da vida no nosso planeta.Conexões entre a realidade que percebemos e abstrações geométricas e algébricas são resultado de como vemos e interpretamos o mundo.Em outras palavras, a matemática humana é produto da nossa história evolutiva. Claro, civilizações que se desenvolverem em situações semelhantes (na superfície de um planeta rochoso com muita água e vegetação, sob um sol irradiando principalmente na porção visível do espectro eletromagnético etc.) poderão obter uma matemática semelhante: a matemática reflete as mentes que a criam.Mas qual a relação da matemática com a beleza? Matemáticos e físicos atribuem beleza à teoremas e teorias, criando uma estética da "verdade". Os mais belos são aqueles que conseguem explicar muito com pouco.Quando possível, os teoremas e teorias mais belos são também os mais simples; dadas duas ou mais explicações para o mesmo fenômeno, vence a mais simples. Esse critério é conhecido como a "lâmina de Ockham", atribuído a William de Ockham, um teólogo inglês do século 14.Einstein, dentre outros, era um defensor da beleza como critério de verdade em teorias científicas: uma teoria tem que ser bela para estar correta. E, sem dúvida, muitas dela são, ao menos de acordo com critérios de elegância e simplicidade na matemática.Para os que creem na matemática como linguagem universal, essa estética leva à existência de uma única verdade. Acho isso preocupante, pois me soa como ecos de um monoteísmo judaico-cristão, uma infiltração religiosa, mesmo que sutil e metafórica, nas ciências. Melhor é defender a matemática e a beleza como nossa invenção. Criamos uma linguagem para descrever o mundo, que não podemos deixar de achar bela
segunda-feira, 1 de junho de 2009
História dos Números
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da matemática.
A Linguagem dos Números
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
A Linguagem dos Números
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número. Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocava-se vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois, três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la. Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas as linguagens européias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres (três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal. Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma idéia clara e lógica de número sem recorrer a contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala, sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de idéias. Eles registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina calculus, que significa pedra.
A idéia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural: 1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto, antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos, daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que, enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável estabilidade e semelhança em todos os grupos lingüísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram nascimento sofreram uma metamorfose completa.
quarta-feira, 22 de abril de 2009
sexta-feira, 17 de abril de 2009
quarta-feira, 15 de abril de 2009
terça-feira, 14 de abril de 2009
História dos Limites
Limites nos apresentam um grande paradoxo. Todos os conceitos principais do cálculo - derivada,
continuidade, integral, convergência/divergência - são definidos em termos de limites. Limite é o
conceito mais fundamental do Cálculo; de fato, limite é o que distingue, no nível mais básico, o cálculo
de álgebra, geometria e o resto da matemática. Portanto, em termos do desenvolvimento ordenado e
lógico do cálculo, limites devem vir primeiro . Porém, o registro histórico é justamente o oposto. Por
vários séculos, as noções de limite eram confusas, com idéias vagas e algumas vezes filosóficas sobre o
infinito (números infinitamente grandes e infinitamente pequenos e outras entidades matemáticas) e
com intuição geométrica subjetiva e indefinida. O termo limite em nosso sentido moderno é um produto
do iluminismo na Europa no final do século 18 e início do século 19, e nossa definição moderna tem
menos de 150 anos de idade. Até este período, existiram apenas raras ocasiões nas quais a idéia de
limite foi usada rigorosamente e corretamente.
A primeira vez que limites foram necessários foi para a resolução dos quatro paradoxos de Zenão (cerca
de 450 a.C.). No primeiro paradoxo, a Dicotomia, Zenão colocou um objeto se movendo uma distância
finita entre dois pontos fixos em uma série infinita de intervalos de tempo (o tempo necessário para se
mover metade da distância, em seguida o tempo necessário para se mover metade da distância
restante, etc.) durante o qual o movimento deve ocorrer. A conclusão surpreendente de Zenão foi que o
movimento era impossível! Aristóteles (384--322 a.C.) tentou refutar os paradoxos de Zenão com
argumentos filosóficos. Em matemática, uma aplicação cuidadosa do conceito de limite resolverá as
questões levantadas pelos paradoxos de Zenão.
Para suas demonstrações rigorosas das fórmulas para certas áreas e volumes, Arquimedes (287--212
a.C.) encontrou várias séries infinitas - somas que contêm um número infinito de termos. Não possuindo
o conceito de limite propriamente dito, Arquimedes inventou argumentos muito engenhosos chamados
de redução ao absurdo duplo, que, na verdade, incorporam alguns detalhes técnicos do que agora
chamamos de limites.
Cálculo é também algumas vezes descrito como o estudo de curvas, superfícies e sólidos. O
desenvolvimento da geometria destes objetos floresceu seguindo a invenção da geometria analítica por
Pierre Fermat (1601--1665) e René Descartes (1596--1650). A geometria analítica é, essencialmente, o
casamento da geometria com a álgebra, e cada uma melhora a outra.
Fermat desenvolveu um método algébrico para encontrar os pontos mais altos e mais baixos sobre
certas curvas. Descrevendo a curva em questão por uma equação, Fermat chamou um número pequeno
de E, e então fez alguns cálculos algébricos legítimos, e finalmente assumiu E = 0 de tal maneira que
todos os termos restantes nos quais E estava presente desapareceriam! Essencialmente, Fermat colocou
de lado o limite com o argumento que E é "infinitamente pequeno". Geometricamente, Fermat estava
tentando mostrar que, exatamente nos pontos mais altos e mais baixos ao longo da curva, as retas
tangentes à curva são horizontais, isto é, têm inclinação zero.
Encontrar retas tangentes a curvas é um dos dois problemas mais fundamentais do cálculo. Problemas
envolvendo tangentes são uma parte do que chamamos agora de estudo das derivadas. Durante o
século 17, vários geômetras desenvolveram esquemas algébricos complicados para encontrar retas
tangentes a certas curvas. Descartes tinha um processo que usava raízes duplas de uma equação
auxiliar, e essa técnica foi melhorada pelo matemático Johan Hudde (1628--1704), que era também o
prefeito de Amsterdã. René de Sluse (1622--1685) inventou um método ainda mais complicado para
obter tangentes a curves. Em cada um desses cálculos, o limite deveria ter sido usado em alguma etapa
crítica, mas não foi. Nenhum destes geômetras percebeu a necessidade da idéia de limite, e assim cada
um encontrou uma maneira inteligente para alcançar seus resultados, os quais estavam corretos, mas
com meios que, agora reconhecemos, faltam fundamentos rigorosos.
Determinar valores exatos para áreas de regiões limitadas, pelo menos em parte, por curvas é o
segundo problema fundamental do cálculo. Este são chamados freqüentemente de problemas de
quadratura, e, intimamente relacionados a eles, estão os problemas de cubatura - encontrar volumes de
sólidos limitados, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Eles nos levam a integrais. Johannes
Kepler (1571--1630), o famoso astrônomo, foi um dos primeiros estudiosos dos problemas de cubatura.
Bonaventura Cavalieri (1598--1647) desenvolveu uma teoria elaborada de quadraturas. Outros, tais
como Evangelista Torricelli (1608--1647), Fermat, John Wallis (1616--1703), Gilles Personne de Roberval
(1602--1675), e Gregory St. Vincent (1584--1667) inventaram técnicas de quadratura e/ou cubatura que
se aplicam a curvas e sólidos específicos ou famílias de curvas. Mas nenhum deles usou limites! Seus
resultados eram quase todos corretos, mas cada um dependia de um malabarismo algébrico ou
apelavam para intuição geométrica ou filosófica questionável em algum ponto crítico. A necessidade de
limites não era reconhecida.
Em quase todos os seus trabalhos que agora são considerados como cálculo, Isaac Newton (1642--
1727), também não reconheceu o papel fundamental do limite. Para séries infinitas, Newton raciocinou
meramente por analogia: se fosse possível executar operações algébricas em polinômios, então seria
possível fazer o mesmo com o número infinito de termos de uma série infinita. Newton calculou o que
ele chamou de flúxions a curvas, não exatamente derivadas, mas muito próximo. O processo que ele
usou para esses cálculos era muito próximo do método de Fermat. Neste e na maioria dos outros
trabalhos comparáveis, Newton negligenciou o limite.
Por outro lado, em seu Principia Mathematica (1687), talvez o maior trabalho em matemática e ciência,
Newton foi o primeiro a reconhecer que o limite deve ser o ponto de partida para problemas de
tangência, quadratura e afins. No início do Livro I do Principia, Newton tentou dar uma formulação
precisa do conceito de limite:
Quantidades, e as razões de quantidades, as quais em qualquer tempo finito convergem continuamente
para igualdade, e antes do final daquele tempo se aproximam entre si por qualquer dada diferença,
tornam-se iguais no final.
Existiram críticas sobre esta afirmação e sobre a discussão que a seguiu, notadamente por George
Berkeley (1685--1753). Mas a genialidade de Newton tinha descoberto o papel fundamental que o limite
tinha que desempenhar no desenvolvimento lógico do cálculo. E, apesar de sua linguagem rebuscada, a
semente da definição moderna de limite estava presente em suas afirmações.
Infelizmente, para a fundamentação rigorosa do cálculo, por muitas décadas, ninguém observou estas
dicas que Newton tinha fornecido. As principais contribuições ao cálculo de Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646--1716) foram as notações e as fórmulas básicas para as derivadas e integrais (as quais usamos
desde então) e o Teorema Fundamental do Cálculo. Com estas ferramentas poderosas, o número de
curvas e sólidos para os quais derivadas e integrais podiam ser facilmente calculadas se expandiram
rapidamente. Problemas desafiadores de geometria foram resolvidos; mais e mais aplicações do cálculo
à ciência, principalmente física e astronomia, foram descobertas; e novos campos da matemática,
especialmente equações diferenciais e o cálculo de variações, foram criados. Dentre os líderes desse
desenvolvimento do século 18 estavam vários membros da família Bernoulli, Johann I (1667--1748),
Nicolas I (1687--1759) e Daniel (1700--1782), Brook Taylor (1685--1731), Leonhard Euler (1707--1783),
e Alexis Claude Clairaut (1713--1765).
O cálculo se desenvolveu rapidamente pelos seus vários sucessos no século 18, e pouca atenção foi
dada aos seus fundamentos, muito menos ao limite e seus detalhes. Colin Maclaurin (1698--1746)
defendeu o tratamento dos fluxions de Newton do ataque de George Berkeley. Mas Maclaurin reverteu a
argumentos do século 17 similares aos de Fermat e apenas ocasionalmente usou a redução ao absurdo
dupla de Arquimedes. Apesar de suas boas intenções, Maclaurin passou por oportunidades de seguir a
sugestão de Newton sobre limites. Jean Le Rond d'Alembert (1717--1783) foi o único cientista daquele
tempo que reconheceu explicitamente a importância central do limite no cálculo. Na famosa
Encyclopédie (1751--1776), d'Alembert afirmou que a definição apropriada da derivada necessitava um
entendimento do limite primeiro e então, deu a definição explícita:
Uma quantidade é o limite de uma outra quantidade quando a segunda puder se
aproximar da primeira dentro de qualquer precisão dada, não importa quão pequena,
apesar da segunda quantidade nunca exceder a quantidade que ela aproxima.
Em termos gerais, d'Alembert percebeu que, "a teoria de limites era a verdadeira metafísica do cálculo".
A preocupação sobre a falta de fundamento rigoroso para o cálculo cresceu durante os últimos anos do
século 18. Em 1784, a Academia de Ciências de Berlim ofereceu um prêmio para um ensaio que
explicasse com sucesso uma teoria do infinitamente pequeno e do infinitamente grande em matemática
e que poderia, por sua vez, ser usada para colocar uma base sólida para o cálculo. Embora este prêmio
tenha sido dado, o trabalho vencedor "longo e tedioso" de Simon L'Huilier (1750--1840) não foi
considerado uma solução viável para os problemas colocados. Lazare N. M. Carnot (1753--1823)
produziu uma tentativa popular de explicar o papel do limite no cálculo como "a compensação de erros"
- mas ele não explicou como estes erros se cancelariam mutuamente perfeitamente.
No final do século 18, o grande matemático da época, Joseph-Louis Lagrange (1736--1813), conseguiu
reformular toda a mecânica em termos de cálculo. Nos anos que seguiram a Revolução Francesa,
Lagrange concentrou sua atenção nos problemas da fundamentação do cálculo. Sua solução, Funções
Analíticas (1797), desligou o cálculo de "qualquer consideração do infinitamente pequeno ou
quantidades imperceptíveis, de limites ou de flúxions." Renomado por suas outras contribuições ao
cálculo, Lagrange fez um esforço heróico (como sabemos agora, com um falha fatal) para tornar o
cálculo puramente algébrico eliminando limites inteiramente.
Ao longo do século 18, havia pouca preocupação com convergência ou divergência de seqüências e
séries infinitas; hoje, entendemos que tais problemas requerem o uso de limites. Em 1812, Carl Friedrich
Gauss (1777--1855) produziu o primeiro tratamento estritamente rigoroso da convergência de
seqüências e séries, embora ele não tenha usado a terminologia de limites. Na sua famosa Teoria
Analítica do Calor, Jean Baptiste Joseph Fourier (1768--1830) tentou definir a convergência de uma série
infinita, novamente sem usar limites, mas então ele afirmou que qualquer função poderia ser escrita
como uma de suas séries, e não mencionou a convergência ou divergência desta série.
No primeiro estudo cuidadoso e rigoroso das diferenças entre curvas contínuas e descontínuas e
funções, Bernhard Bolzano (1781--1848) olhou além da noção intuitiva da ausência de buracos e
quebras e encontrou os conceitos mais fundamentais os quais expressamos hoje em termos de limites.
No começo do século 18, as idéias sobre limites eram com certeza confusas. Enquanto Augustin Louis
Cauchy (1789-1857) estava procurando por uma exposição clara e rigorosamente correta do cálculo
para apresentar aos seus estudantes de engenharia na École polytechnique em Paris, ele encontrou
erros no programa estabelecido por Lagrange. Então, Cauchy começou o seu curso de cálculo do nada;
ele começou com uma definição moderna de limite. Começando em 1821, ele escreveu as suas próprias
notas de aula, essencialmente seus próprios livros, o primeiro chamado de Cours d’analyse (Curso de
Análise) . Nas suas classes e nestes livros-texto clássicos, Cauchy usou o princípio de limite como a base
para introduções precisas à continuidade e convergência, a derivada, a integral, e o resto do cálculo.
Contudo, Cauchy perdeu alguns dos detalhes técnicos, especialmente na aplicação da sua definição de
limite a funções contínuas e à convergência de certas séries infinitas. Niels Henrik Abel (1802--1829) e
Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805--1859) estavam entre aqueles que desencavaram estes problemas
delicados e não intuitivos. Nas décadas de 1840 e 1850, enquanto era um professor do ensino médio,
Karl Weierstrass (1815--1897) determinou que a primeira etapa necessária para corrigir estes erros era
restabelecer a definição original de Cauchy do limite em termos estritamente aritméticos, usando apenas
valores absolutos e desigualdades. A exposição de Weierstrass é exatamente aquela que encontramos
no livro de Cálculo de Thomas. Weierstrass prosseguiu em uma carreira brilhante como professor de
matemática na Universidade de Berlim. Lá ele desenvolveu um programa para trazer rigor aritmético
para todo o cálculo e à análise matemática.
História da Derivada
A derivada tem dois aspectos básicos, o geométrico e o computacional. Além disso, as aplicações das
derivadas são muitas: a derivada tem muitos papéis importantes na matemática propriamente dita, tem
aplicações em física, química, engenharia, tecnologia, ciências, economia e muito mais, e novas
aplicações aparecem todos os dias.
A origem da derivada está nos problemas geométricos clássicos de tangência, por exemplo, para
determinar uma reta que intersecta uma dada curva em apenas um ponto dado. Euclides (cerca de 300
a.C.) provou o familiar teorema que diz que a reta tangente a um círculo em qualquer ponto P é
perpendicular ao raio em P. Arquimedes (287--212 a.C.) tinha um procedimento para encontrar a
tangente à sua espiral e Apolônio (cerca de 262--190 a.C.) descreveu métodos, todos um tanto
diferentes, para determinar tangentes a parábolas, elipses e hipérboles. Mas estes eram apenas
problemas geométricos que foram estudados apenas por seus interesses particulares limitados; os
gregos não perceberam nenhuma linha em comum ou qualquer valor nestes teoremas.
Problemas de movimento e velocidade, também básicos para nosso entendimento de derivadas hoje em
dia, também surgiram com os gregos antigos, embora estas questões tenham sido originalmente
tratadas mais filosoficamente que matematicamente. Os quatro paradoxos de Zenon (cerca de 450 a.C.)
se apoiam sobre dificuldades para entender velocidade instantânea sem ter uma noção de derivada. Na
Física de Aristóteles (384--322 B.C.), os problemas de movimento estão associados intimamente com
noções de continuidade e do infinito (isto é, quantidades infinitamente pequenas e infinitamente
grandes). Na época medieval, Thomas Bradwardine (1295--1349) e seus colegas em Merton College,
Oxford, fizeram os primeiros esforços para transformar algumas das idéias de Aristóteles sobre
movimento em afirmações quantitativas. Em particular, a noção de velocidade instantânea tornou-se
mensurável, pelo menos em teoria; hoje, é a derivada (ou a taxa de variação) da distância em relação
ao tempo.
Foi Galileu Galilei (1564--1642) quem estabeleceu o princípio que matemática era a ferramenta
indispensável para estudar o movimento e, em geral, ciência: “Filosofia [ciência e natureza] está escrita
naquele grande livro o qual está diante de nossos olhos – quero dizer o universo – mas não podemos
entendê-lo se não aprendermos primeiro a linguagem... O livro está escrito em linguagem matemática
...” Galileu estudou o movimento geometricamente; usou as proporções clássicas de Euclides e
propriedades das cônicas de Apolônio para estabelecer relações entre distância, velocidade e aceleração.
Hoje, estas quantidades variáveis são aplicações básicas das derivadas.
O interesse em tangentes a curvas reapareceu no século 17 como uma parte do desenvolvimento da
geometria analítica. Uma vez que equações eram então usadas para descrever curvas, o número e
variedade de curvas aumentou tremendamente naqueles estudos em épocas clássicas. Por exemplo,
Pierre Fermat (1601--1665) foi o primeiro a considerar a idéia de uma família inteira de curvas de uma
só vez. Ele as chamou de parábolas superiores, curvas da forma y = kxn, onde k é constante e n = 2, 3,
4, … A introdução de símbolos algébricos para estudar a geometria de curvas contribuiu
significativamente para o desenvolvimento da derivada, da integral e do cálculo. Por outro lado, como
conclusões e resultados geométricos poderiam ser obtidos mais facilmente usando raciocínio algébrico
que geométrico, os padrões de rigor lógico que tinham sido iniciados pelos gregos antigos foram
relaxados em muitos problemas de cálculo, e isto (entre outros fatores) levou a controvérsias
espirituosas e até amarguradas. Fermat desenvolveu um procedimento algébrico para determinar os
pontos mais altos (máximos) e mais baixos (mínimos) sobre uma curva; geometricamente, ele estava
encontrando os pontos onde a tangente à curva tem inclinação zero.
René Descartes (1596--1650) teve o discernimento de prever a importância da tangente quando, em
sua Geometria, escreveu “E eu ouso dizer isto [encontrar a normal, ou perpendicular a uma curva, a
partir da qual podemos facilmente identificar a tangente] não é apenas o problema mais útil e geral da
geometria que conheço, mas até aquele que sempre desejei conhecer.” Descartes inventou um
procedimento de dupla raiz para encontrar a normal e então a tangente a uma curva. Como resultado
da tradução da Geometria de Descartes para o latim por Frans van Schooten (1615--1661) e as
explicações abrangentes por Schooten, Florimonde de Beaune (1601--1652) e Johan Hudde (1628-
1704), os princípios e benefícios da geometria analítica tornaram-se mais amplamente conhecidos. Em
particular, Hudde simplificou a técnica da dupla raiz de Descartes para determinar pontos máximos e
mínimos sobre uma curva; o procedimento da dupla raiz foi redescoberto por Christiaan Huygens (1629-
1695). Então, modificando o processo da tangente de Fermat, Huygens inventou uma seqüência de
etapas algébricas que produziu os pontos de inflexão de uma curva; veremos que isto requer a derivada
segunda. René François de Sluse (1622--1685) desenvolveu uma técnica algébrica que levou à
inclinação da tangente a uma curva. No final da década de 1650, havia grande correspondência entre
Huygens, Hudde, van Schooten, Sluse e outros sobre tangentes de várias curvas algébricas; Hudde e
Sluse especialmente procuraram métodos algébricos mais simples e padronizados que poderiam ser
aplicados a uma variedade maior de curvas. Para Gilles Personne de Roberval (1602--1675), uma curva
era o caminho de um ponto se movendo, e ele desenvolveu um método mecânico para encontrar a
tangente para muitas curvas, incluindo a ciclóide. Mas o método de Roberval não podia ser generalizado
para incluir mais curvas.
Isaac Newton (1642--1727) começou a desenvolver o seu “cálculo de flúxions” entre os seus primeiro
esforços científicos em 1663. Para Newton, movimento era a “base fundamental” para curvas, tangentes
e fenômenos relacionados de cálculo e ele desenvolveu seus flúxions a partir da versão de Hudde do
procedimento da dupla raiz. Newton estendeu esta técnica como um método para encontrar a curvatura
de uma curva, uma característica que agora sabemos ser uma aplicação da derivada segunda. Em 1666,
1669 e 1671, Newton resumiu e revisou seu trabalho de cálculo e estes manuscritos circularam entre um
grande número de seus colegas e amigos. Ainda assim, embora tenha continuado a retornar a
problemas de cálculo em épocas diferentes de sua vida científica, os trabalhos de Newton sobre cálculo
não foram publicados até 1736 e 1745.
Com algum tutoramento e conselho de Huygens e outros, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716)
desenvolveu seu cálculo diferencial e integral durante o período entre 1673 e 1676 enquanto vivia como
um diplomata em Paris. Em uma pequena viagem a Londres, onde participou de um encontro da
Sociedade Real em 1673, Leibniz aprendeu o método de Sluse para encontrar tangentes a curvas
algébricas. Leibniz tinha pouca inclinação para desenvolver estas técnicas e interesse ainda menor em
fundamentações matemáticas (isto é, limites) necessárias, mas ele aperfeiçoou as fórmulas modernas e
a notação para derivada no seu famoso artigo "New methods for maximums and minimums, as well as
tangents, which is neither impeded by fractional nor irrational quantities, and a remarkable calculus for
them" (Novos métodos para máximos e mínimos, assim como tangentes, os quais não são impedidos
por quantidades fracionárias e irracionais, e um cálculo notável para eles) de 1684.
Aqui está o primeiro trabalho publicado em cálculo e de fato a primeira vez que a palavra “cálculo” foi
usada em termos modernos. Agora, qualquer um poderia resolver problemas de tangentes sem ser
especialista em geometria, alguém poderia simplesmente usar as fórmulas de “cálculo” de Leibniz.
Algumas vezes se diz que Newton e Leibniz “inventaram” o cálculo. Como podemos ver, isto é
simplificação exagerada. Em vez disso, como Richard Courant (1888--1972) observou, cálculo tem sido
“uma luta intelectual dramática que durou 2500 anos”. Depois de 1700, circunstâncias levaram a um dos
episódios mais tristes e deselegantes em toda a história da ciência: a disputa entre Leibniz e Newton, e
mais ainda entre seus seguidores, sobre quem deveria receber os créditos do cálculo. Cada um fez
contribuições importantes para derivada, integral, séries infinitas e, acima de tudo, para o Teorema
Fundamental do Cálculo. As acusações de plágio e outros ataques eram irrelevantes frente à matemática
feita por eles, mas as acusações e contra-ataques escalaram para cisões entre matemáticos e cientistas
na Inglaterra (leais a Newton) e no continente europeu (seguidores de Leibniz) os quais levaram à
xenofobia nacionalista por mais de um século.
O primeiro livro sobre cálculo diferencial foi Analysis of Infinitely Small Quantities for the Understanding
of Curved Lines (Análise de quantidades infinitamente pequenas para o entendimento de curvas,1696)
pelo Marquês de l’Hospital (1661--1704). Muito de seu trabalho foi realmente devido à Johann Bernoulli
(1667--1748) e seguiu o tratamento de Leibniz para derivadas, máximos, mínimos e outras análises de
curvas. Mas o método de L’Hospital para determinar o raio de curvatura era muito parecido com aquele
de Newton. Jakob Bernoulli (1654-1705) e seu irmão mais novo Johann lideraram o caminho para
espalhar o conhecimento do poder das fórmulas de cálculo de Leibniz propondo e resolvendo problemas
desafiadores (o problema da catenária e da braquistócrona são dois exemplos) para os quais o cálculo
era necessário. Leibniz, Newton e Huygens também resolveram estes problemas. Este problemas e
outros levaram ao desenvolvimento das equações diferenciais e do cálculo das variações, novos campos
da matemática dependentes de cálculo.
Na Inglaterra, o novo Treatise of Fluxions (Tratado de Flúxions,1737) de Thomas Simpson (1710--1761)
forneceu a primeira derivada da função seno. Em 1734, o Bispo George Berkeley (1685--1753) publicou
The Analyst (O Analista), um ataque à falta de fundamentos rigorosos para seus flúxions. Berkeley
reconheceu a precisão das fórmulas de Newton e a exatidão das suas aplicações abrangentes em física e
astronomia, mas criticou as "quantidades infinitamente pequenas" e os "incrementos imperceptíveis" dos
fundamentos das derivadas. Colin Maclaurin (1698--1746) tentou defender Newton no seu Treatise of
Fluxions (Tratado de Flúxions) (1742) e desenvolveu derivadas para funções logarítmicas e exponenciais
e expandiu as fórmulas de Simpson para incluir as derivadas das funções tangente e secante.
No continente, Maria Agnesi (1718--1799) seguiu Leibniz e L'Hospital no seu livro de cálculo Analytical
Institutions (Instituições Analíticas,1748). Leonhard Euler (1707--1783) deu um passo importante na
direção de estabelecer uma fundamentação sólida para o cálculo no seu Introduction to the Analysis of
the Infinite (Introdução à Análise do Infinito, 1748) quando introduziu funções (no lugar de curvas)
como os objetos para os quais as derivadas e outras técnicas de cálculo seriam aplicadas. Por função,
Euler queria dizer algum tipo de "expressão analítica"; sua concepção não era tão abrangente como a
nossa definição moderna. Na sua publicação, também introduziu o termo análise como um nome
moderno para cálculo e a matemática avançada relacionada. No seu Methods of Differential Calculus
(Métodos de Cálculo Diferencial,1755), Euler definiu a derivada como "o método para determinar as
razões entre os incrementos imperceptíveis, as quais as funções recebem, e os incrementos
imperceptíveis das quantidades variáveis, das quais elas são funções", que soa não muito científico hoje
em dia. Mesmo assim, Euler trabalhou com vários casos especiais da regra da cadeia, introduziu
equações diferenciais e tratou máximos e mínimos sem usar quaisquer diagramas ou gráficos. Em 1754,
na famosa Encyclopédie francesa, Jean le Rond d’Alembert (1717--1783) afirmou que a "definição mais
precisa e elegante possível do cálculo diferencial" é que a derivada é o limite de certas razões quando os
numeradores e denominadores se aproximam mais e mais de zero, e que este limite produz certas
expressões algébricas que chamamos de derivada.
No final do século 18, Joseph Louis Lagrange (1736--1813) tentou reformar o cálculo e torná-lo mais
rigoroso no seu Theory of Analytic Functions (Teoria das Funções Analíticas,1797). Lagrange pretendia
dar uma forma puramente algébrica para a derivada, sem recorrer à intuição geométrica, a gráficos ou a
diagramas e sem qualquer ajuda dos limites de d'Alembert. Lagrange desenvolveu a principal notação
que usamos agora para derivadas e o desenvolvimento lógico de seu cálculo era admirável em outros
aspectos, mas seu esforço em prover uma base sólida para o cálculo falhou porque sua concepção da
derivada era baseada em certas propriedades de séries infinitas as quais, sabemos agora, não são
verdadeiras.
Finalmente, no início do século 19, a definição moderna de derivada foi dada por Augustin Louis Cauchy
(1789--1857) em suas aulas para seus alunos de engenharia. Em seu Résumé of Lessons given at l'Ecole
Polytechnique in the Infinitesimal Calculus (Resumo das Lições Dadas na Escola Politécnica Sobre o
Cálculo Infinitesimal,1823), Cauchy afirmou que a derivada é:
O limite de [f(x + i) - f(x) ] / i quando i se aproxima de 0. A forma da função que serve
como o limite da razão [f(x + i) - f(x) ] / i dependerá da forma da função proposta y =
f(x) . Para indicar sua dependência, dá-se à nova função o nome de função derivada.
Cauchy prosseguiu para encontrar derivadas de todas as funções elementares e dar a regra da cadeia.
De igual importância, Cauchy mostrou que o Teorema do Valor Médio para derivadas, que tinha
aparecido no trabalho de Lagrange, era realmente a pedra fundamental para provar vários teoremas
básicos do cálculo que foram assumidos como verdadeiros, isto é, descrições de funções crescentes e
decrescentes. Derivadas e o cálculo diferencial estão agora estabelecidos como uma parte rigorosa e
moderna do cálculo.
História da I ntegral
O cálculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de
quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste
de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo
menos uma curva. Para um problema de cubatura, queremos determinar o volume exato de um sólido
tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas. Hoje, o uso do termo quadratura
não mudou muito: matemáticos, cientistas e engenheiros comumente dizem que "reduziram um
problema a uma quadratura", o que significa que tinham um problema complicado, o simplificaram de
várias maneiras e agora o problema pode ser resolvido avaliando uma integral.
Historicamente, Hipócrates de Chios (cerca de 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas quando
encontrou a área de certas lunas, regiões que se parecem com a lua próxima do seu quarto crescente.
Antiphon (cerca de 430 A.C.) alegou que poderia "quadrar o círculo" (isto é, encontrar a área de um
círculo) com uma seqüência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado; segundo
um octógono, a seguir um hexadecaedro, etc., etc. Seu problema era o "etc., etc.". Como a quadratura
do círculo de Antiphon requeria um número infinito de polígonos, nunca poderia ser terminada. Ele teria
que ter usado o conceito moderno de limite para finalizar seu processo com rigor matemático. Mas
Antiphon tinha o início de uma grande idéia agora chamado de método de exaustão. Mais de 2000 anos
depois, creditamos a Eudoxo (cerca de 370 A.C.) o desenvolvimento do método de exaustão: uma
técnica de aproximação da área de uma região com um número crescente de polígonos, com
aproximações melhorando a cada etapa e a área exata sendo obtida depois de um número infinito
destas etapas; esta técnica foi modificada para atacar cubaturas também.
Arquimedes (287--212 A.C.), o maior matemático da antigüidade, usou o método de exaustão para
encontrar a quadratura da parábola. Arquimedes aproximou a área com um número grande de
triângulos construídos engenhosamente e então usou o argumento da redução ao absurdo dupla para
provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafísica do infinito. Para o círculo, Arquimedes
primeiro mostrou que a área depende da circunferência; isto é muito fácil de se verificar hoje em dia,
uma vez que ambas as fórmulas dependem de p. Então Arquimedes aproximou a área do círculo de raio
unitário usando polígonos regulares de 96 lados inscritos e circunscritos! Seu famoso resultado foi 3
10/71 < p < 3 1/7; mas como estas eram apenas aproximações, no sentido estrito, não eram
quadraturas. Esta técnica refinou o método de exaustão, assim quando existe um número infinito de
aproximações poligonais, chamamos de método da compressão. O processo de Arquimedes para
encontrar a área de um segmento de uma espiral era comprimir esta região entre setores de círculos
inscritos e circunscritos: seu método de determinar o volume de um conóide (um sólido formado pela
rotação de uma parábola ao redor de seu eixo) era comprimir este sólido entre cilindros inscritos e
circunscritos. Em cada caso, a etapa final que estabelecia rigorosamente o resultado era o argumento da
redução ao absurdo dupla.
No seu possivelmente mais famoso trabalho de todos, um tratado combinado de matemática e física,
Arquimedes empregou indivisíveis para estimar o centro de gravidade de certas regiões bidimensionais e
de certos sólidos tridimensionais. (Arquimedes reconheceu que, por um lado, seu trabalho sugeria a
verdade de seus resultados, e por outro faltava um rigor lógico completo). Se considerarmos uma destas
regiões sendo composta de um número infinito de retas, de comprimentos variados, então estas retas
são chamadas de indivisíveis. Similarmente, quando a composição de um sólido tridimensional é
pensada como um número infinito de discos circulares, de raios variados, mas com espessura zero,
então estes discos são conhecidos como indivisíveis.
Matemáticos muçulmanos dos séculos 9 a 13 foram grandes estudiosos de Arquimedes, mas nunca
souberam da determinação de Arquimedes do volume de um conóide. Assim, um dos mais notáveis de
todos matemáticos árabes, Thabit ibn Qurrah (826--901) desenvolveu sua própria cubatura, um tanto
complicada, deste sólido; e então o cientista persa Abu Sahl al-Kuhi (século 10) simplificou
consideravelmente o processo de Thabit. Ibn al-Haytham (965--1039), conhecido no ocidente como
Alhazen e famoso por seu trabalho em ótica, usou o método de compressão para encontrar o volume do
sólido formado pela rotação da parábola ao redor de uma reta perpendicular ao eixo da curva.
Durante o período medieval no ocidente, progresso foi obtido aplicando as idéias de cálculo a problemas
de movimento. William Heytesbury (1335), um membro do notável grupo de estudiosos do Merton
College, em Oxford, foi o primeiro a vislumbrar métodos para a determinação da velocidade e a
distância percorrida por um corpo supostamente sob "aceleração uniforme". Hoje, podemos obter estes
resultados encontrando duas integrais indefinidas ou antiderivadas, sucessivamente. Notícias deste
trabalho de Heytesbury e seus colegas de Merton alcançaram Paris posteriormente no século 14 onde
Nicole Oresme (1320--1382) representou ambas a velocidade e o tempo como segmentos de reta de
comprimentos variáveis. Oresme colocou as retas de velocidade de um corpo juntas verticalmente, como
os indivisíveis de Arquimedes, sobre uma reta base horizontal, e a configuração total, como ele a
chamou, representava a distância total coberta pelo corpo. Em particular, a área desta configuração era
chamada de "quantidade total de movimento" do corpo. Aqui temos precursores dos gráficos modernos
e o nascimento da cinemática.
À medida que os europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo
no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para
este problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora Gerard Mercator (1512--
1594) não tenha explicado seus princípios geométricos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright
(1561--1615) que, além disso, providenciou uma tabela que mostrava que as distâncias ao longo das
retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec f D f ), onde f é a latitude; isto é,
aproximando a integral de sec f.
Em seu New Stereometry of Wine Barrels (Nova Estereometria de Barris de Vinho) (1615), o famoso
astrônomo Johannes Kepler (1571--1630) aproximou os volumes de vários sólidos tridimensionais, cada
qual era formado girando uma região bidimensional ao redor de um eixo. Para cada um destes volumes
de revolução, subdividiu o sólido em várias fatias muito finas ou discos chamados de infinitésimos (note
a diferença entre infinitésimos e os indivisíveis de Arquimedes). Então, em cada caso, a soma destes
infinitésimos aproximavam o volume desejado. A segunda lei de Kepler do movimento planetário
requeria quadraturas de segmentos de uma elipse, e para aproximar estas áreas, somou triângulos
infinitesimais.
Bonaventura Cavalieri (1598--1647), um estudante de Galileu, desenvolveu uma teoria de indivisíveis.
Para uma região bidimensional, Cavalieri considerou a coleção de "todas as retas" como sendo um único
número, a área da região. Christiaan Huygens (1629--1695) criticou, "Sobre os métodos de Cavalieri:
alguém se engana se aceitar seu uso como uma demonstração mas são úteis como um meio de
descoberta anterior à demonstração... isto é o que vem primeiro...". Evangelista Torricelli (1608--1648),
outro discípulo de Galileu e amigo de Cavalieri, tentou resolver algumas das dificuldades com indivisíveis
ao afirmar que as retas poderiam ter algum tipo de espessura. Foi cuidadoso para usar argumentos de
redução ao absurdo para provar quadraturas que obteve por indivisíveis. O "Chifre de Gabriel" é uma
cubatura "incrível" descoberta por Torricelli.
Pierre Fermat (1601--1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das
"parábolas de ordem superior" (y = kxn, onde k > 0 é constante e n = 2, 3, 4, …) usando retângulos
estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma série
geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y = kxn, para n = -2, -3, -4, …. Mas, para
sua decepção, nunca foi capaz de estender estes processos para "hipérboles de ordem superior",
ym = kxn. Por volta da década de 1640, a fórmula geral para a integral de parábolas de ordem superior
era conhecida de Fermat, Blaise Pascal (1623-1662), Gilles Personne de Roberval (1602--1675), René
Descartes (1596--1650), Torricelli, Marin Mersenne (1588--1648) e provavelmente outros.
John Wallis (1616--1703) estava fortemente comprometido com a relativamente nova notação algébrica
cujo desenvolvimento era uma característica dos matemáticos do século 17. Por exemplo, ele tratou a
parábola, a elipse e a hipérbole como curvas planas definidas por equações em duas variáveis em vez
de seções de um cone. Também inventou o símbolo ¥ para infinito e, ao usar isto, obscureceu lugares
onde agora sabemos que deveria ter usado o limite. Estendeu a fórmula de quadratura para y = kxn
para casos quando n era um número racional positivo usando indivisíveis, razões inteligentes e apelos ao
raciocínio por analogia. A dependência de Wallis em fórmulas o levou a várias quadraturas interessantes.
Roberval explorou o Princípio de Cavalieri para encontrar a área sob um arco da ciclóide. Roberval e
Pascal foram os primeiros a plotar as funções seno e co-seno e a encontrar as quadraturas destas
curvas (para o primeiro quadrante). Pascal aproximou integrais duplas e triplas usando somas
triangulares e piramidais. Estas não eram cubaturas, mas eram etapas em seu esforço para calcular os
momentos de certos sólidos, para cada um dos quais ele então determinou o centro de gravidade.
Finalmente, Gregory St. Vincent (1584--1667) determinou a área sob a hipérbole xy = 1, usando
retângulos estreitos inscritos e circunscritos de larguras diferentes especialmente desenhados e o
método de compressão. St. Vincent estendeu esta e outras quadraturas para encontrar várias cubaturas.
Logo depois disto, seu aluno, Alfonso Antonio de Sarasa (1618--1667) reconheceu que a quadratura da
hipérbole está intimamente ligada à propriedade do produto do logaritmo!
Seguindo uma sugestão de Wallis, em 1657, William Neile (1637--1670) determinou o comprimento de
uma seção arbitrária da parábola semicúbica, y2 = x3, e em 1658, Christopher Wren (1632--1723), o
famoso arquiteto, encontrou o comprimento de um arco da ciclóide. Em 1659, Hendrick van Heuraet
(1634-cerca de 1660) generalizou seu trabalho somando tangentes infinitesimais a uma curva, portanto
desenvolveu a essência do nosso método moderno de retificação - usando uma integral para encontrar
o comprimento de um arco.
Na forma geométrica, muito do cálculo nos primeiros dois terços do século 17 culminaram no The
Geometrical Lectures (1670) de Isaac Barrow (1630--1677). Barrow deixou sua cadeira de Professor
Lucasiano em Cambridge em favor de se ex-aluno Isaac Newton (1642--1727). Newton seguiu James
Gregory (1638--1675) ao pensar na área da região entre uma curva e o eixo horizontal como uma
variável; o extremo esquerdo era fixo, mas o extremo direito podia variar. Este truque lhe permitiu
estender algumas fórmulas de quadratura de Wallis e o levou ao Teorema Fundamental do Cálculo. O
último trabalho de Newton sobre cálculo, e também o primeiro a ser publicado, foi seu ensaio, "On the
Quadrature of Curves" (Sobre Quadratura de Curvas), escrito entre 1691 e 1693 e publicado como um
apêndice na edição de 1704 do seu Opticks. Neste, ele montou uma tabela extensa de integrais de
funções algébricas um tanto complicadas, e para curvas as quais não podia desenvolver fórmulas de
integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental do Cálculo,
Newton desenvolveu as técnicas básicas para avaliar integrais usadas hoje em dia, incluindo os métodos
de substituição e integração por partes.
Para Gottfried Wilhelm Leibniz (1646--1716), uma curva era um polígono com um número infinito de
lados. Leibniz (1686) fez y representar uma ordenada da curva e dx a distância infinitesimal de uma
abscissa para a próxima, isto é, a diferença entre abscissas "sucessivas". Então disse, "represento a área
de uma figura pela soma de todos os retângulos [ infinitesimais] limitados pelas ordenadas e diferenças
das abscissas ... e assim represento em meu cálculo a área da figura por ò y dx". Leibniz tomou o "S"
alongado para a integral do latim summa e d do latim differentia, e estas têm permanecido nossas
notações de cálculo mais básicas desde então. Ele considerava as contas de cálculo como o meio de
abreviar de algum modo o clássico método grego de exaustão. Leibniz era ambivalente sobre
infinitesimais, mas acreditava que contas formais de cálculo poderiam ser confiáveis porque levavam a
resultados corretos.
O termo integral, como usamos em cálculo, foi cunhado por Johann Bernoulli (1667--1748) e publicado
primeiramente por seu irmão mais velho Jakob Bernoulli (1654--1705). Principalmente como uma
conseqüência do poder do Teorema Fundamental do Cálculo de Newton e Leibniz, integrais eram
consideradas simplesmente como derivadas "inversas". A área era uma noção intuitiva, quadraturas que
não podiam ser encontradas usando o Teorema Fundamental do Cálculo eram aproximadas. Embora
Newton tenha desferido um golpe muito imperfeito sobre a idéia de limite, ninguém nos séculos 18 e 19
teve a visão de combinar limites e áreas para definir a integral matematicamente. Em vez disso, com
grande engenhosidade, muitas fórmulas de integração inteligentes foram desenvolvidas.
Aproximadamente ao mesmo tempo em que a tabela de integrais de Newton tinha sido publicada,
Johann Bernoulli desenvolveu procedimentos matemáticos para a integração de todas as funções
racionais, o qual chamamos agora de método das frações parciais. Estas regras foram resumidas
elegantemente por Leonhard Euler (1707--1783) em seu trabalho enciclopédico de três volumes sobre
cálculo (1768-1770). Incidentalmente, estes esforços estimularam o aumento do interesse durante o
século 18 na fatoração e resolução de equações polinomiais de graus elevados.
Enquanto descrevia as trajetórias dos cometas no Principia Mathematica (1687), Newton propôs um
problema com implicações importantes para o cálculo: "Para encontrar uma curva do tipo parabólico
[ isto é, um polinômio] a qual deve passar por qualquer número de pontos dados", Newton redescobriu a
fórmula de interpolação de James Gregory (1638--1675); hoje, é chamada de fórmula de Gregory-
Newton, e em 1711, ele ressaltou sua importância: "Assim as áreas de todas as curvas podem ser
aproximadas ... a área da parábola [polinômio] será quase igual à área da figura curvilínea ... a parábola
[polinômio] pode sempre ser quadrada geometricamente por métodos conhecidos em geral [ isto é,
usando o Teorema Fundamental do Cálculo] ". O trabalho de interpolação de Newton foi estendido em
épocas distintas por Roger Cotes (1682--1716), James Stirling (1692--1770), Colin Maclaurin (1698--
1746), Leonhard Euler e outros. Em 1743, o matemático autodidata Thomas Simpson (1710-1761)
encontrou o que se tornou um caso especial, popular e útil das formulas de Newton-Cotes para
aproximar uma integral, a Regra de Simpson.
Embora Euler tenha feito cálculos mais analíticos que geométricos, com ênfase em funções (1748; 1755;
1768), houve vários mal-entendidos sobre o conceito de função, propriamente dito, no século 18. Certos
problemas de física, como o problema da corda vibrante, contribuíram para esta confusão. Euler
identificou tanto funções com expressão analítica, que pensou em uma função contínua como sendo
definida apenas por uma única fórmula em todo seu domínio. A idéia moderna de uma função contínua,
independente de qualquer fórmula, foi iniciada em 1791 por Louis-François Arbogast (1759--1803): "A
lei de continuidade consiste em que uma quantidade não pode passar de um estado [valor] para outro
[valor] sem passar por todos os estados intermediários [valores] ...". Esta idéia tornou-se rigorosa em
um panfleto de 1817 por Bernhard Bolzano (1781--1848) e é conhecida agora como o Teorema do Valor
Intermediário. Funções descontínuas (no sentido moderno) foram forçadas na comunidade matemática
e científica por Joseph Fourier (1768--1830) no seu famoso Analytical Theory of Heat (Teoria Analítica
do Calor,1822).
Quando Augustin Louis Cauchy (1789--1857) assumiu a reforma total do cálculo para seus alunos de
engenharia na École polytechnique na década de 1820, a integral era uma de suas pedras
fundamentais:
No cálculo integral, me pareceu necessário demonstrar com generalidade a existência das integrais ou
funções primitivas antes de tornar conhecidas suas diversas propriedades. Para alcançar este objetivo,
foi necessário estabelecer no começo a noção de integrais tomadas entre limites dados ou integrais
definidas.
Cauchy definiu a integral de qualquer função contínua no intervalo [a, b] sendo o limite da soma das
áreas de retângulos finos. Sua primeira obrigação era provar que este limite existia para todas as
funções contínuas sobre o intervalo dado. Infelizmente, embora Cauchy tenha usado o Teorema do
Valor Intermediário, não conseguiu seu objetivo porque não observou dois fatos teóricos sutis mas
cruciais. Ele não tinha noção das falhas lógicas no seu argumento e prosseguiu para justificar o Teorema
do Valor Médio para Integrais e para provar o Teorema Fundamental do Cálculo para funções contínuas.
Niels Henrik Abel (1802--1829) também apontou certos erros delicados ao usar a integral de Cauchy
para integrar todo termo de uma série infinita de funções.
A primeira prova rigorosa da convergência da Série de Fourier geral foi feita por Peter Gustav Lejeune
Dirichlet (1805--1859) em 1829. Dirichlet também é responsável pela definição moderna de função
(1837). Em 1855, Dirichlet sucedeu Carl Friedrich Gauss (1777-1855) como professor na Universidade
de Göttingen. Por sua vez, Georg F. B. Riemann (1826--1866) sucedeu Dirichlet (1859) em Göttingen.
No processo de extensão do trabalho de Dirichlet sobre séries de Fourier, Riemann generalizou a
definição de Cauchy da integral para funções arbitrárias no intervalo [a, b] , e o limite das somas de
Riemann é a formulação no texto. Imediatamente, Riemann perguntou, "em que casos uma função é
integrável?" A maior parte do desenvolvimento da teoria de integração foi subseqüentemente verificada
por Riemann e outros, mas ainda havia dificuldades com integrais de séries infinitas que não foram
trabalhadas até o início do século 20.
Livro: Cálculo de George B. Thomas
Ross L. FINNEY, Maurice D. WEIR, Frank R. GIORDANO
vol. 1 - 10ª ediçã o.
Sã o Paulo: Addison Wesley, 2002.
Assinar:
Postagens (Atom)
Postagens populares
-
ALTO QI LUMINE O AltoQi Lumine é um programa integrado para projeto de instalações elétricas prediais, contendo uma base independente de ... -
Todo concreto é composto de cimento, agregados (miúdo e graúdo), água, bem como aditivos, e seu endurecimento, entre outros fatores, é ...
-
A decisão de reforçar uma estrutura de betão armado é, sobretudo uma decisão económica. Na generalidade, a decisão de reparar ou refor...
-
Colapso estrutural: ruptura brusca de pilar A indústria da construção civil participa com aproximadamente 10% do Produto Interno Br...
-
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. (Redirecionado de Último Teorema de Fermat ) Pierre de Fermat O Último teorema de Fermat , ou te...
-
De acordo com os pesquisadores do LHC, não há nada ainda apontando para a existência da chamada 'partícula de Deus' ...
-
Como se originam, quais os tipos, as causas e as técnicas mais recomendadas de recuperação de fissuras Por Rodnei Corsini Fiss...
-
SEGUE LINKS ABAIXO; Livro e resolução de exercícios mecanica Vetorial- Beer 3a edição http://www.4shared.com/file/VojaUxaX/Livro_e_resoluo_d... -
A tradicional logomarca do site de buscas Google foi substituída nesta quarta-feira (17) por uma ilustração conhecida como ‘doodle’ em hom...
